【趣味數(shù)學(xué)題】牟合方蓋的體積

2021-07-17 09:54 作者:AoiSTZ23 0人讀過 | 我要投稿

?鄭濤 (Tao Steven Zheng) 著

牟合方蓋（bicylinder）是由兩個垂直的橫截面相等的圓柱相交而成的立體形狀。相交圓柱的橫截面是半徑為 $r$ 的圓。使用積分法來推得牟合方蓋的體積公式。

首先要考慮的是積分方向上的等高線（level curves）。讓積分方向上在x軸上進行。x軸上的橫截面是正方形，在半徑為 $r%20$ 的圓 $x%5E2%20%2B%20y%5E2%20%3D%20r%5E2$ 而變分。所以，正方形的橫截面的邊長可以用下列公式表示

$b%3D2y%3D2%5Csqrt%7Br%5E2%20-%20x%5E2%7D$

然后其面積是

$A%3Db%5E2%20$

$A%3D4y%5E2$

$A(x)%20%3D%204(r%5E2%20-%20x%5E2)$

所以，牟合方蓋的體積是

$V%20%3D%20%5Cint%5E%7Br%7D_%7B-r%7D%204(r%5E2%20-%20x%5E2)dx$

$V%20%3D%204%5Cleft%5Br%5E2x%20-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%5CBiggr%7C_%7B-r%7D%5E%7Br%7D%20%5Cright%5D$

$%20V%20%3D%20%5Cfrac%7B16r%5E3%7D%7B3%7D%20$

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