Taranovsky ordinal notation(簡稱TON)

TON的構成:

一個二元函數(shù)C(m,n)，m和n可以是0,Ω以及函數(shù)中放入0和Ω所得到的東西. 例:C(C(C(0,0),C(Ω,0)),C(C(C(Ω,Ω),Ω),0))

可數(shù)與不可數(shù):

C(a,b)是可數(shù)的當且僅當b是可數(shù)的，0是可數(shù)的.Ω不可數(shù)

TON的展開:

如果整個式子形如C(0,x)則C(0,x)=x+1 否則: 把目光投向表達式最左邊的C,如果這個C緊跟在另一個C的左面就看向右面那個C(不含括號)…不斷的重復這個過程.直到找到了第一個不是C的東西,它可能是0或者Ω. 如果是0:C(C(0,a),b)=C(a,C(a,…C(a,b)))迭代ω次. 如果是Ω:為防止混淆，記找到的Ω為α 找到最近的包含著α的可數(shù)項記為A，把A中的α替換成A本身,替換ω次.然后把最里面那個α改成0. 例1:C(C(0,0),C(Ω,0))它適用于第二條規(guī)則,a=0,b=C(Ω,0).C(C(0,a),b)=C(a,C(a,…C(a,b)))所以C(C(0,0),C(Ω,0))=C(0,C(0,…C(Ω,0))) 例2:C(Ω,C(Ω,0))它適用于第三條規(guī)則,A=C(Ω,C(Ω,0)).α=最左邊的Ω.C(Ω,C(Ω,0))=C(C(C(0,C(Ω,0))…,C(Ω,0)),C(Ω,0)) C(0,0)=1 C(0,C(0,0))=2 C(0,C(0,C(0,0)))=3 C(C(0,0),0)=C(1,0)=ω C(0,C(1,0))=ω+1 C(0,C(0,C(1,0)))=ω+2 C(1,C(1,0))=ω2 C(2,0)=ω^2 C(2,C(2,0))=ω^2*2 C(3,0)=ω^3 C(ω,0)=ω^ω C(ω+1,0)=ω^(ω+1) C(ω^ω,0)=ω^ω^ω C(Ω,0)=ε? 非遞歸序數(shù): C(0,Ω)=Ω+1 C(Ω,Ω)=Ω2 C(Ω,C(Ω,Ω))=Ω3 C(Ω+1,Ω)=Ωω C(C(Ω,Ω),Ω)=Ω^2 C(C(Ω,Ω),C(C(Ω,Ω),Ω))=Ω^2*2 C(C(Ω,C(Ω,Ω)),Ω)=Ω^3 C(C(Ω+1,Ω),Ω)=Ω^ω C(C(C(Ω,Ω),Ω),Ω)=Ω^Ω C(C(C(C(Ω,Ω),Ω),Ω),Ω)=Ω^Ω^Ω n=1時系統(tǒng)的極限=C(C(C(C(Ω,Ω)…,Ω),Ω),0)=C(Ω^Ω^…,0)=C(ε(Ω+1),0)=BHO=C(C(Ω?,Ω),0)