雙曲線的有趣性質(zhì)

已知雙曲線Γ方程為x2/a2- y2/b2=1

直線l方程為y=kx+d

設(shè)直線l與雙曲線Γ及其漸近線交于A，B，C，D 四點(diǎn)（見下圖）則|AB|=|CD

證明如下：

聯(lián)立雙曲線與直線方程得

直線l:y=kx+d，雙曲線Γ:b2x2-a2y2=a2b2

（b2-a2k2）x2-2a2kdx-a2d2-a2b2=0

A（x?，y?）D（x?，y?）由韋達(dá)定理可得

x?+x?=2a2kd/（b2-a2k2）

AD中點(diǎn)E橫坐標(biāo)X為a2kd/（b2-a2k2）

∴|AE|=|DE|

聯(lián)立直線與雙曲線漸近線方程得

直線l:y=kx+d，漸近線y=±bx/a

得到兩個(gè)方程解得B，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)

x?=-ad/（ak-b），x?=-ad/（ak+b）

BC中點(diǎn)F橫坐標(biāo)X'=a2kd/（b2-a2k2）

∴|BF|=|CF|

∵點(diǎn)E，F(xiàn)均在直線l上且X=X'

∴E，F(xiàn)兩點(diǎn)重合即|BE|=|CE|

∴|AE|-|BE|=|DE|-|CE|即|AB|=|CD|

如此一來我們就證明了這個(gè)關(guān)于雙曲線有趣的性質(zhì)。

注：本結(jié)論系《北大全國優(yōu)秀中學(xué)生暑期學(xué)堂試題》