預(yù)備知識：

1. Q是有理數(shù)集的縮寫，是英語單詞quotient（商）的縮寫，因?yàn)橛欣頂?shù)一定是兩個整數(shù)的商；

2. 【菲赫金哥爾茨微積分學(xué)教程精讀筆記Ep2】讀懂?dāng)?shù)學(xué)書避不開的邏輯規(guī)律：例3；

3. 行列式的性質(zhì)：

1. 行列互換，行列式不變（把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記為A'）；

2. 行列式一行的公因子可以提出去；

3. 行列式中若有某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和：

   這兩個行列式的這一行分別是第一組數(shù)和第二組數(shù)，則其余各行與原來行列式的相應(yīng)各行相同；

4. 兩行互換，行列式反號；

5. 兩行相同，行列式的值為0；

6. 兩行成比例，行列式的值為；

7. 把一行的倍數(shù)加在另一行上，行列式的值不變。

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修?於崇華?金路）》）——

設(shè)S={x|x∈Q并且x^2<3}，證明：S沒有最大數(shù)與最小數(shù)。

證（反證法+構(gòu)造法）：假設(shè)有最大數(shù)，以某種形式表示，然后再這種形式下找到一個明顯大于這個數(shù)的數(shù)（關(guān)系式），就可以得到一般性結(jié)論——

1. 假設(shè)S存在最大數(shù)a，則S的定義易得，a^2<3；

2. 我們只要確定一個自然數(shù)n，使得（a+1/n）^2<3即可，即

   （a+1/n）^2=a^2+2a/n+1/n^2<3，則

   2a/n+1/n^2<3-a^2；

3. （放縮：對自然數(shù)n，n^2>=n，則1/n^2<=1/n）

   2a/n+1/n^2<（2a+1）/n<3-a^2，即

   n>（2a+1）/（3-a^2），（由阿基米德公理：）這樣的n一定存在，于是

   a<a+1/n∈S，a不是最大數(shù)，導(dǎo)出矛盾，于是S中沒有最大數(shù)，同理可得，S中沒有最小數(shù)。

解析幾何——

例題（來自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

設(shè)點(diǎn)P是任意點(diǎn)，點(diǎn)O是平面上正多邊形A1A2…An的中心，證明：

PA1+PA2+PA3+…+PAn=nPO.

證：

（先證OA1+OA2+OA3+…+OAn=0.）正多邊形各內(nèi)角相等，且|OA1|=|OA2|=|OA3|=…=|OAn|，并且對任意k，OAk位于∠Ak-1OAk+1角平分線上，由平行四邊形原理——

1. OA1+OA3=λOA2，

   OA2+OA4=λOA3，

   ……，

   OAn-1+OA1=λOAn，

   OAn+OA2=λOA1；

2. 由1：2（OA1+OA2+OA3+…+OAn）=λ（OA1+OA2+OA3+…+OAn），

   （λ-2）（OA1+OA2+OA3+…+OAn）=0，

   顯然λ≠2，則OA1+OA2+OA3+…+OAn=0.

（再證PA1+PA2+PA3+…+PAn=nPO.）

1. 對任意k，PAk=PO+OAk；

2. PA1+PA2+PA3+…+PAn

   =（PO+OA1）+（PO+OA2）+（PO+OA3）+……+（PO+OAn）

   =nPO+（OA1+OA2+OA3+…+OAn）

   =nPO，證畢。
   

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：

證：