這次的 Geogebra 基礎(chǔ)課?要來談 Proof without Words 中，經(jīng)典的平均不等式。在給定了 a, b 兩條線段長，如何在圖形上顯示其調(diào)和平均，幾何平均，算術(shù)平均，方均根四段的長度，并可以看出其大小關(guān)系。這圖很適合作為直角三角形母子相似定理（射影定理）的練習(xí)與應(yīng)用。

本次的制作主要使用垂線工具，在顯示式子中，使用了 LaTeX 語法來作書寫。

任務(wù)一 算幾不等式的示意圖

【目的】給定 a,b 作出一個直徑為 a+b? 的半圓，并作一個直角三角形，其高為 根號 ab 。

【說明】以 a, b 為直徑作半圓，再作個垂直于分割點的直線 CH，可得其長度為根號 ab。再利用三角形斜邊最長的特性可得算幾不等式。

【操作】

a = 滑動條(1,5,0.1,1,100)

b = 滑動條(1,5,0.1,1,100)

H = (0,0)

A? = (-a,0)

B = (b,0)

c = 半圓(A,B)

C = 交點(垂線( P,?直線(A,B) ),c)?

D = 交點(垂線( H,?直線(A,B) ),c)?

sAH = 線段(A,H)

sBH = 線段(B,H)

sDH = 線段(D,H)

sCO?= 線段(C,O)

sAD?= 線段(A,D)

sBD = 線段(B,D)

sOD?=?線段(O,D)

任務(wù)二 方均根、調(diào)和平均的示意圖

【目的】作出代表 「方均根」與于「調(diào)和平均」的線段

【說明】CH 為直角三角形 COH 中，?OH 與 CO 所對應(yīng)的斜邊，所以 CH^2 = OH^2 + CO^2 = ((a-b)/2)^2? + ((a+b)/2)^2 =?(a^2+b^2)/2 。而在三角形 OHD 中，DG*DO=DH^2 ，可得 DG = DH^2/DO = (2ab)/(a+b) 。建立四個線段后，在文本內(nèi)輸入 4 個線段的大小關(guān)系表示，對于數(shù)學(xué)式的輸入使用 LaTeX 數(shù)學(xué)式。 \frac 是分?jǐn)?shù)、\sqrt 是根號。

對于文本內(nèi)要使用不同的顏色，需要用顏色代碼，例如，以?\textcolor{#F08}{文字} 來操作，其中 {#F08} 表示紅、綠、藍三色光的強度。這是用?16 進位 (0~F)?的方式顯示。F 表示紅光全亮，0 表示 沒有綠光，8表示 藍光半亮。??標(biāo)準(zhǔn)的代碼是以 6?碼表示、但有些時侯可用短碼的?3碼來表示。

【操作】

sCH = 線段(C,H)

G = 交點(垂線( H,?直線(O,D) ), 直線(O,D))?

sHG = 線段(H,G)?

# 增加以下五段 LaTeX 文本， \frac{}{}?是分?jǐn)?shù)、\sqrt{} 是根號

CE = \frac{CH^2}{CO} = \frac{2ab}{a+b}

CH? = \sqrt{AH\cdot BH}=\sqrt{ab}

OD = \frac{a+b}{2}

HD = \sqrt{OH^2+OD^2} =?\sqrt{(\frac{a+b}{2}) +(\frac{a-b}{2})^2} =?\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

# 并利用顏色代碼來輸入顏色。

\textcolor{#93F}{\frac{2ab}{a+b}} \leq \textcolor{#F09}{\sqrt{ab}} \leq \textcolor{#C00}{\frac{a+b}{2}} \leq \textcolor{#930}{{\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} }

小結(jié)與討論

本節(jié)定位為基礎(chǔ)課，操作上主要是「垂線」、「交點」工具的使用。但比較有意思的還是在于這個圖的結(jié)論。用一張圖，讓我們調(diào)整 a,b 的大小觀察到 ，這四個線段的長度關(guān)系。

其中算幾不等式的圖示是我很早就接觸到的?Proof without words 的證明。用張圖顯示了這兩者的大小關(guān)系。后來還在這個圖上，發(fā)現(xiàn)方均根與調(diào)和平均就更對這圖著迷。

關(guān)于這些 Proof without Words 還有哪些大家推薦的證明問題呢？

限時挑戰(zhàn)

歡迎加微信 Acchu0331 入群打卡學(xué)習(xí)，每次任務(wù)有 20 元獎勵紅包。此次任務(wù)小打卡中獲得最多贊可得 8元人氣獎，另抽一位打卡者獲得手氣獎 8元 。另外，還有 4?個 總額 4元的隨機紅包為關(guān)注獎。? 本次任務(wù)的打卡期限為 2020/8/1(六) 23:59。請參考視頻，交一份作業(yè)在小打卡內(nèi)，附上作品截圖或動圖，并寫下 32 字以上的心得，如以下格式。???

任務(wù)：S6G5 平均不等式 （Geogebra 的無字證明）

姓名：朱安強???

心得：?本節(jié)定位為基礎(chǔ)課，操作上主要是「垂線」、「交點」工具的使用。但比較有意思的還是在于這個圖的結(jié)論。用一張圖，讓我們調(diào)整 a,b 的大小觀察到?，這四個線段的長度關(guān)系。其中算幾不等式的圖示是我很早就接觸到的?Proof without words 的證明。用張圖顯示了這兩者的大小關(guān)系。后來還在這個圖上，發(fā)現(xiàn)方均根與調(diào)和平均就更對這圖著迷。

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