????????基數(shù)（cardinal number）是集合論中的概念，它可以理解為一個集合中元素的個數(shù)，事實上它是一個集合，這在熊金城老師的《點集拓撲學(xué)》第四版中嚴格的給出了定義（P32）。

????????假設(shè)你已經(jīng)知道可數(shù)集與不可數(shù)集的定義，一個符合直覺的例子是區(qū)間與區(qū)間應(yīng)該是等勢的，因為他們看起來“長度”是相同的。但是如果問區(qū)間與整個實數(shù)軸是等勢的，你可能就會犯嘀咕。

問題一：證明　

????????事實上我們只需要構(gòu)造這兩個集合之間的一一映射，這是由基數(shù)的定義決定的。直接構(gòu)造可能要費點功夫，不如從圖形上來考慮，我們只需要構(gòu)造一個函數(shù)，這個函數(shù)的定義域與值域分別是這兩個區(qū)間（當然也可能反過來），函數(shù)本身是映射，想要確保是一一的只需要函數(shù)本身是單調(diào)的即可（參考二次函數(shù)與一次函數(shù)圖形）。有了上面的分析，這里就直接給出一種方式：

不難看出這樣一個映射將與一一的對應(yīng)起來，由此即知二者等勢！我們記為

????????上面兩個區(qū)間雖然“長度”不同，但是他們都是一維空間中的。下面繼續(xù)問如果是一維空間和兩維空間該如何去證明他們等勢呢？

問題二：證明　

????????像一維空間那樣直接構(gòu)造的方法似乎是難以實現(xiàn)的，否則你需要構(gòu)造一個一維映到二維或者反過來的一一映射，構(gòu)造這樣一個映射很簡單（比如定義二維區(qū)域中的距離），但是要做到一一映射并不容易！直接證明二者一一對應(yīng)的路子似乎是行不通的，我們來使用一個工具，

Cantor-Bernstein定理：設(shè)X 和Y 是兩個集合，如果從 X 到 Y 有一個單射，從 Y 到 X 也有一個單射，那么 X 與 Y 之間有一個一一映射。（熊金城P33）

????????直接看似乎跟基數(shù)的判斷沒有關(guān)系，但是如果你知道這樣一個事實的話或許就會豁然開朗。對于兩個集合 A?、B 來說如果能夠構(gòu)造 A 到 B 的一個單射，那么就有

這個結(jié)論從基數(shù)的概念來看是顯然的，因為 B 中的元素至少不會比 A 中的少！我們來重新寫一下上述定理。

Cantor-Bernstein定理：如果??與 ?同時成立，那么就有?

注：就上述定理形式而言與實數(shù)的性質(zhì)類似，這與基數(shù)的所代表的含義本身即集合中元素的數(shù)量是相吻合的，因為“數(shù)量”也是實數(shù)。

????????有了上述定理不難知道我們只需證明兩個方向的不等號即證。注意到?，顯然

我們只需要證明反向的不等式，即構(gòu)造一個?的單射即可。下面給出證明：

????????對分別將? 表示成十進制無窮小數(shù)：

其中?，構(gòu)造一個映射?

顯然有?。下證是單射。

由于十進制表示小數(shù)是唯一的，不妨假設(shè)

，

由映射的定義即知?，從而是單射。

????????再回到開頭講的一維空間中區(qū)間與實數(shù)軸是等勢的，利用同樣的構(gòu)造正切函數(shù)的方式可以證明二維區(qū)域與?也是等勢的。這樣一來即可證明

事實上右端項可以是n維歐式空間的基數(shù)，這利用上面的證明手段總是可以做到的！