采樣定理簡單來說就是: 已知一個連續(xù)信號, 通過采樣化為離散序列, 這個序列可以用來儲存或者發(fā)送, 后續(xù)可以用這個序列還原出一模一樣的連續(xù)信號

但是在這里(其實更久以前也是)?, 數學和物理中定義的 "頻率" 并沒有相同的定義, such: 這里有一個正弦信號: sin(at),?在數學中, 這個信號的頻率是a, 但是在物理中, 這個信號是 a/2π.? ?因此, 傅里葉變換其實是有兩種形式的, 對于第一種情況, 基函數應該是 e^(-iωt), 而第二種情況為 e^(-2πiωt),?在不同情況計算結果也會有所不同.

一直以來我都是在討論著第二種情況, 所以在這里我也只討論第二種情況, 而對于第一種情況我只會把結果發(fā)出來而已

以下記 f(t) 為信號函數, F(ω) 為頻率函數(即信號函數經過傅里葉變換后得到的結果)

假設存在常數 Ω, 使得 F(ω)=0? {|ω|>Ω},? 則Ω被稱為自然頻率或Nyquist頻率, 而2Ω被稱為Nyquist取樣率,? 那么信號函數 f(t) 則被稱為帶限函數

例子:? 人只能聽到頻率為 20kHz 以下的聲音,? 那么把人聽到的聲音信號作為一個函數,? 則這個函數是一個帶限函數, 而對應的Ω為20000

tips:? 以聲音作為例子,? 在現實中聲音是存在超過20kHz的超聲波,? 所以現實的聲音信號并不是帶限函數,? 但是我們可以人為地規(guī)定Ω=20000,? 然后再對聲音進行處理, 略去20kHz以上的超聲波,? ?所以更多情況不是假設并尋找自然頻率Ω, 而是人為地定下Ω后再對信號進行處理

Shannon-Whittaker采樣定理

如果我們選擇已知或規(guī)定了自然頻率Ω, 那么則有:

其中? f(k/2π) 就是采樣數據了

證明:

傅里葉相關的真的完結???(大概)

最后放出使用 e^(iωt) 作為核函數的采樣定理:

例子:

實際情況中 k 是完全不可能真的累加到 ∞ 的,? 所以一般我們只會把 k 取前幾項而已

下面的圖片就可以直觀地說明采樣定理公式的收斂速度有多快

f(t)原函數是黑色的, 當k取[-0, 0],?[-1, 1] 等生成的函數也用顏色標示出來了