一道重要的抽代作業(yè)題

2022-11-22 22:58 作者:noobzz_ 0人讀過(guò) | 我要投稿

作業(yè)08：

設(shè)G為一個(gè)群，H為G的一個(gè)子群，滿足 $%5BG%3AH%5D%3Dn%3C%5Cinfty$

考慮G到G/H對(duì)稱群的左平移群同態(tài)：

$%5Cphi%3AG%5Crightarrow%20S_%7BG%2FH%7D%20%2C%5Cphi(a)%3DL_%7Ba%7D%20$

給出以下結(jié)論：

（1） $ker%5Cphi%3D%5Cbigcap_%7Ba%5Cin%20G%7D%20aHa%5E%7B-1%7D$

（2）H包含一個(gè)G的正規(guī)子群N，滿足 $%5BG%3AN%5D%5Cmid%20n!$

這給了我們一個(gè)依靠有限指數(shù)子群，尋找正規(guī)子群的方法

一些常見(jiàn)的應(yīng)用，比如sylow定理中判斷某sylow p-子群的個(gè)數(shù)，以及下面兩道本次期中考的試題，不妨自己嘗試以下

1、（2）G為奇數(shù)階有限群，H<G，且 $%5BG%3AH%5D%3D3$ ，?則? $H%5Clhd%20G$

3、設(shè)群G的階為 $p%5En$ ，p為素?cái)?shù)，n>1，求證G中有指數(shù)為p的正規(guī)子群

標(biāo)簽：

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