如圖，半圓A、B的半徑相等，它們相切，且都內(nèi)切于半徑為1的半圓O，圓與它們均相切，圓與圓、半圓B和半圓O均相切，求圓的半徑.

解：的半徑為1

的半徑為

設(shè)的半徑為

與外切，與內(nèi)切

易知

在中，

由勾股定理可解得

常規(guī)做法：

設(shè)的半徑為

在與中用余弦定理表示與，

再利用解出.

下面介紹兩種非常規(guī)方法（均用到同一法的思想）：

（我們猜測(cè)四邊形為矩形，則）

作矩形，以為圓心，為半徑作圓，可驗(yàn)證時(shí)滿足條件.

下證的唯一性.

法一（幾何不等式）：

引理1：如圖，四邊形ABCD為折四邊形，則AD + BC < AB + CD.

證明：∵AP + PD > AD, BP + CP > BC

∴AP + PD + BP + CP > AD + BC

即AB + CD > AD + BC

引理2：如圖，四邊形ABCD為凹四邊形，則AB + AD > CB + CD.

證明：∵AB + AP > BP, CP + DP > CD

∴AB + AP + CP + DP > BP + CD

∴AB + AP + CP + DP > CB + CP + CD

即AB + AD > CB + CD

如圖1.

由題知，在的右側(cè)，在半圓B的上方.

設(shè)的半徑為

若使線段與線段有交點(diǎn)?或 線段與線段有交點(diǎn)，

且滿足條件.

設(shè)其半徑為

不妨考慮線段與線段有交點(diǎn)的情況（另一種情況類似）

由引理1知：

即

矛盾！

若使線段與線段無(wú)交點(diǎn)，線段與線段無(wú)交點(diǎn)，

且滿足條件.

設(shè)其半徑為

不妨考慮線段在外的情況（另一種情況類似）

由引理2知：

即

而在外

即

矛盾！

綜上，唯一.

法二：（此方法由ctz同學(xué)提出）

如圖2，只需證明如下結(jié)論：

已知存在2個(gè)圓與非等圓外切，與內(nèi)切，且半徑小于半徑（圖1中這2個(gè)圓即為和），則這樣的圓只有2個(gè).

設(shè)與外切，與內(nèi)切，且半徑小于半徑的圓的圓心為C

設(shè)的半徑分別為

則

為定值，

?? ? ? ? ???為定值，

? ? ? ? ? ??為定值.

不妨設(shè)

則C在以A, B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支上（圖2中為左支），

? ? C在以A, F為焦點(diǎn)的橢圓上，

? ? C在以B, F為焦點(diǎn)的橢圓上.

又 存在2個(gè)圓與外切，與內(nèi)切

有兩個(gè)公共點(diǎn)M, N

只需證：有公共焦點(diǎn)的橢圓至多有2個(gè)交點(diǎn).

如圖3，假設(shè)橢圓有3個(gè)交點(diǎn)A, B, C.

則一定有另一交點(diǎn)D（若只有3個(gè)交點(diǎn)，則可看作C與D重合）……（1）

設(shè)，

則過(guò)A, B, C, D的二次曲線系（不包含）可表示為.

為定直線

該二次曲線系只含1個(gè)參數(shù)

由公共焦點(diǎn)F可確定這個(gè)參數(shù).

兩橢圓重合，矛盾！

不可能有第3個(gè)交點(diǎn).

注：（1）的嚴(yán)格證明可能較為復(fù)雜，如果有機(jī)會(huì)我會(huì)再發(fā)一篇文章解釋.

本文中法一為個(gè)人方法，法二為同學(xué)的方法，如有雷同，純屬巧合.

如果讀者有其他方法，或者有問(wèn)題，歡迎分享交流！