首先是無(wú)窮大的意義。

上式表明，在x趨于無(wú)窮大的過(guò)程中，只要x是任意一個(gè)確定的數(shù)字，那么，上式中的等號(hào)就不成立，因此，無(wú)窮大不能是任意一個(gè)確定的數(shù)字，也就是說(shuō)，無(wú)窮大這個(gè)符號(hào)代表的是一個(gè)變量，這個(gè)變量無(wú)法用任何數(shù)字來(lái)表示。

反過(guò)來(lái)，1/x就是無(wú)窮小。同樣，無(wú)窮小意味著比任何數(shù)字都要小。那么，上式中的等號(hào)什么時(shí)候成立呢？

我們假設(shè)上圖中的a就是0，當(dāng)1/x在趨近于0的過(guò)程中，已經(jīng)處于0的delta區(qū)域內(nèi)，在這個(gè)區(qū)域里面，1/x與0的距離小到已經(jīng)無(wú)法用任何一個(gè)數(shù)字表示的時(shí)候，圖1中的等號(hào)就成立。這個(gè)時(shí)候我們也可以認(rèn)為是x趨近于無(wú)窮大這個(gè)無(wú)限過(guò)程的終結(jié)。實(shí)際上，圖2中的假設(shè)其實(shí)永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)到，但我們?yōu)榱死斫夥奖?，可以假設(shè)它能夠達(dá)到。

上面關(guān)于無(wú)窮小的定義中，我們注意兩點(diǎn)：

1：無(wú)窮小其實(shí)是對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)的。

2：不要把epsilon與無(wú)窮小搞混。epsilon是一個(gè)任意小的正數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)；而無(wú)窮小則是一個(gè)變量，一個(gè)函數(shù)，一個(gè)變化的過(guò)程，是不能用任何一個(gè)確定的數(shù)字表示的。

上圖說(shuō)明了函數(shù)才是無(wú)窮小的含義。

從上圖可以看出，零是一個(gè)確定的數(shù)，它可以用來(lái)表示無(wú)窮小，但不等于說(shuō)無(wú)窮小就是0。我們也可以這樣認(rèn)為：0可以用來(lái)表示無(wú)窮小這個(gè)無(wú)限過(guò)程的終點(diǎn)，但0并不能表示這個(gè)過(guò)程本身。

上圖表示，不同函數(shù)表示的無(wú)窮小這個(gè)過(guò)程有快有慢，相互之間可以比較，比較的前提是自變量同時(shí)趨于一個(gè)相同的值。比如，當(dāng)1變成0.5的時(shí)候，x^2由1變成0.25，3x由3變成1.5，前者減少75%，后者減少50%，因此前者減少的速度比后者更快。

上圖是無(wú)窮小比較的定義。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：

1：無(wú)窮小是一個(gè)過(guò)程，0是一個(gè)確定的數(shù)字。

2：0可以代表無(wú)窮小這個(gè)過(guò)程的終結(jié)，但不能表示無(wú)窮小這個(gè)過(guò)程本身。

3：高階低階無(wú)窮小比較的是兩個(gè)不同函數(shù)同時(shí)趨近無(wú)窮小這個(gè)過(guò)程的速度快慢。