一篇文章通俗易懂理解概率論中的“矩”

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，矩（Moment）是描述隨機(jī)變量分布特征的重要概念之一。矩可以用來計(jì)算分布的各種參數(shù)，例如均值、方差等。

給定一個(gè)隨機(jī)變量X，它的k階原點(diǎn)矩（kth Raw Moment）定義為E[X^k]，其中E表示期望運(yùn)算符。原點(diǎn)矩描述了隨機(jī)變量的k次冪的期望值。

例如，一階原點(diǎn)矩是期望值，表示為E[X]，它描述了隨機(jī)變量的平均值或期望。

二階原點(diǎn)矩是方差，表示為Var(X) = E[(X - E[X])^2]，它描述了隨機(jī)變量的離散程度或波動(dòng)性。

除了原點(diǎn)矩之外，還有中心矩（Central Moment）的概念。k階中心矩定義為E[(X - E[X])^k]，它使用隨機(jī)變量與其期望的差異來描述分布的形狀。

一階中心矩為0，二階中心矩是方差（即二階原點(diǎn)矩），三階中心矩描述了偏斜度，四階中心矩描述了峰度等。

那么矩到底是怎么一回事呢？？？？？？？
在概率論中，有一桿無處不在的“秤”。因?yàn)檫@把“秤”的存在，所以我們有了“矩”。

1.5=5×10% 100×0.5% 5000000×0.00001%1.5=5×10% 100×0.5% 5000000×0.00001%
?
?二、如何理解概率論中的“矩”
給我一個(gè)支點(diǎn)和一根足夠長的棍子，我就可以舉起整個(gè)地球。----阿基米德
對(duì)比物理的力矩，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，概率論中的“矩”真的是很有啟發(fā)性的一個(gè)詞。
1 力矩
大家應(yīng)該都知道物理中的力矩，我這里也不展開說細(xì)節(jié)了，用一幅圖來幫助大家回憶一下：

2 概率論中的“矩”
在概率論中，有一桿無處不在的“秤”。因?yàn)檫@把“秤”的存在，所以我們有了“矩”。
2.1 彩票的問題
福利彩票，每一注兩元錢，真是中國的良心啊，豬肉、房價(jià)都漲了多少了??？

每一注的中獎(jiǎng)幾率如下（胡謅的）：

畫成概率分布大概就是這樣的：

不過，我想你大致不會(huì)認(rèn)為，這花兩元錢買的彩票，真的就價(jià)值五百萬。
我們用概率來組裝一把“秤”：

“秤”擺好了，我們嘗試稱一下：

稱量實(shí)際上是：

這么少？不是說好了五百萬的嗎？
沒有辦法，中獎(jiǎng)概率太低了，離秤的中心太近了（對(duì)應(yīng)于力矩而言，就是力臂太短了）。中國有句古話：“二鳥在林不如一鳥在手”，說的真的有道理啊。
把整張彩票都放上去稱（秤上的刻度是隨便畫的，因?yàn)橄嗖钐珣沂?，沒有辦法按照真是比例來畫）：

具體計(jì)算如下：

這張彩票原來只值1.5元？血本無歸??！

3 “矩”

學(xué)過概率的都知道，我們上面計(jì)算的就是期望：

其實(shí)這就是“矩”：