傳統(tǒng)積分的弊端其實就是將定義域無限分割之后希望在盡可能小的區(qū)間上函數(shù)值的波動也逐漸減小，但是這可能是不現(xiàn)實的，比如說我們在區(qū)間上取一個函數(shù)定義方式如下：在有理點取，在無理點取，這樣的函數(shù)按照黎曼積分是不能定義的，但是你可以對進(jìn)行一個分裂重新排布，變成有理點集合和無理點集合，它們不相交無理點不貢獻(xiàn)積分，而有理點的積分應(yīng)該是，所以勒貝格積分的優(yōu)點其實是按照函數(shù)值對定義域進(jìn)行了重排，想象把所有的有理點都安排在原點附近，剩下的部分全交給無理點，那么我們就仿佛得到了一個只有一級臺階的階梯函數(shù)，而它本來是一個無限跳躍的階梯函數(shù)。其實勒貝格積分的意義就是嘗試將函數(shù)按照函數(shù)值進(jìn)行分段，從而利用原像將定義域分段重排構(gòu)造連續(xù)函數(shù)。所以也就是我們舍去了定義域上的序關(guān)系，從而讓積分不再受到這些連續(xù)性的限制。