看到這個(gè)封面，你有沒(méi)有聯(lián)想到勾股定理，沒(méi)錯(cuò)，它和我們今天的主題……大概可能或許maybe有一點(diǎn)點(diǎn)關(guān)系

我們的主題要從下面這個(gè)不定方程開(kāi)始

已知a2+b2=900，求其自然數(shù)解

這個(gè)東西解法蠻多，比如這個(gè)方程里可以看出a，b都是2,3的倍數(shù)，也就是6的倍數(shù)，兩邊約掉36，得（2a/6）+（2b/6）=25，瞪眼看出兩解為3,4，所以a,b分別為18,24

當(dāng)然，本文主題是另一種解法

先導(dǎo)知識(shí)：高斯整數(shù)，高斯整數(shù)是指形如a+bi（a，b∈Z）的數(shù)。

對(duì)900進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，900=22×32×52，再重新組合一下900=（2×52）×（2×32）=50×18，為啥要這么分捏，原式=（72+12）×（32+32），接下來(lái)我們構(gòu)造復(fù)數(shù)z?=7+i，z?=3+3i，那么z?，z?的模長(zhǎng)就分別是√50和√18，而z?z?相乘，模長(zhǎng)相乘，所以復(fù)數(shù)Z=z?z?=（7+i）（3+3i）=18+24i的模長(zhǎng)為√900，即182+242=900，即18，24便是方程的解。因?yàn)榧訙p乘運(yùn)算對(duì)整數(shù)是封閉的（整數(shù)與整數(shù)進(jìn)行加減乘得到的仍是整數(shù)），所以我們將原數(shù)分解成整數(shù)平方和相乘的形式，然后構(gòu)造高斯整數(shù)，便能保證最后得到的仍是高斯整數(shù)（有些時(shí)候不一定要分成兩個(gè)高斯整數(shù)，比如2020=（102+1）×（32+1）×（1+1））

up主的猜想便是，對(duì)于方程a2+b2=c（abc為自然數(shù)，c為合數(shù)），上述的方法總是成立的，即對(duì)于兩個(gè)整數(shù)的平方和，總是可以把他分解成其他整數(shù)平方和相乘的形式

up嘗試了一下，奈何數(shù)論過(guò)于垃圾沒(méi)證出來(lái)，以下是up的一些驗(yàn)算

OK，如果有大佬證明或證否的可以在評(píng)論區(qū)吱一聲嗎(′?ω?｀)