這幾次都是書上的例題，這次的題目對之前數(shù)列極限一個結(jié)論的推廣，結(jié)論要記住，以后會反復(fù)用到——

54例題

e.lim a^x=1，x趨向于0時

a>1時，a^x為單增函數(shù)——

1. 已知數(shù)列l(wèi)im a^（1/n）=1，即對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N'，使得n>N'，|a^（1/n）-1|<ε，因為n趨向于無窮大，1/n趨向于0，且1/n>0，于是a^（1/n）>1，于是a^（1/n）-1<ε，得到n>N'>=1/loga （1+ε）=ln a/ln（1+ε），取N=[ln a/ln（1+ε）]+1即可；

2. 那么，lim a^（-1/n）=lim 1/a^（1/n）=1，即對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N"，使得n>N"，|a^（-1/n）-1|<ε，因為n趨向于無窮大，-1/n趨向于0，且-1/n<0，于是a^（-1/n）<1，于是1-a^（-1/n）<ε，得到n>N">=-1/loga?（1-ε）=-ln（1-ε）/ln a，取N=[-ln（1-ε）/ln a]+1即可；

3. 對于任意x>0，必然存在N0=max{N'，N"}，使得-1/N0<x<1/N0，且1-ε<a^（-1/N0）<a^x<a^（1/N0）<1+ε；

4. 復(fù)述定義：lim a^x=1，x趨向于0時，即對于任意小數(shù)ε>0，存在Δ>0，當(dāng)0<|x|<Δ時，|a^x-1|<ε，即1-ε<a^x<1+ε

5. 由3,4，只要使0<|x|<Δ<=1/N0成立即可，所以取定Δ=1/N0即可。

0<a<1同理可證。