#練習(xí)生打卡

1.用鄰域或用ε—δ語言定義的連續(xù)具有一般性。（想象地鐵站的例子）（所以那個(gè)經(jīng)典說法是“連續(xù)本質(zhì)上是拓?fù)湫再|(zhì)”）

用lim(x→x?)f(x)=f(x?)定義僅僅局限在x?是極限點(diǎn)而不是孤立點(diǎn)的情況。

（從極限點(diǎn)的集合概念或開集的性質(zhì)都可以得知從前假設(shè)有“f在x?處及其附近有定義”這個(gè)條件是“x?是極限點(diǎn)”的充分不必要條件）

2.孤立點(diǎn)必然是連續(xù)點(diǎn)，因此f在有限集上連續(xù)。

3.再次強(qiáng)化記憶范數(shù)不等式，用它推出投影算子的連續(xù)性，從而再結(jié)合常值函數(shù)的連續(xù)性、連續(xù)的線性性質(zhì)可推知n元多項(xiàng)式函數(shù)的連續(xù)性，繼而根據(jù)四則運(yùn)算的連續(xù)性可知有理多項(xiàng)式函數(shù)的連續(xù)性。

4.類似累次極限，如果一個(gè)多元函數(shù)對(duì)每個(gè)變量都連續(xù)，并不能斷言它是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

5.設(shè)f在D上對(duì)x,y都連續(xù)。若f在D上對(duì)于其中一個(gè)變量一致連續(xù)/單調(diào)，則f在D上連續(xù)。

再次體現(xiàn)單調(diào)是個(gè)很好的性質(zhì)。

①前者只要ε—δ語言、范數(shù)不等式、二分法掌握清晰就能證明。

②Young命題。拿一元舉例子，f(x)單調(diào)?f(x) ≤ max｛f(x?+δ)，f(x?-δ)｝。并且像導(dǎo)數(shù)定義那里一樣，x?+△x和x可互相替換。