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正n邊形過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

2023-03-19 16:08 作者:舃?? 0人讀過 | 我要投稿

設(shè)正 $n$ 邊形外接圓半徑 $r$ ，則此題轉(zhuǎn)化為過腰長為 $r$ 的等腰三角形的頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量 $I$ .

設(shè)頂角為 $%5Ctheta$ ，則 $I%3DI_c%2Bmd%5E2%3DI_c%2B%5Cfrac%7B4%7D%7B9%7DmR%5E2%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$ ， $C$ 為等腰三角形重心。

由量綱法，設(shè) $I_c%3DkmR%5E2$ ，易得 $k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B18%7D%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D$

所以 $I%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DmR%5E2%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DmR%5E2%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D)$

設(shè)正 $n$ 邊形質(zhì)量 $m$ ，則答案 $I_n%3D(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DmR%5E2%5Ccos%5E2%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bn%7D%2B%20%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DmR%5E2%5Csin%5E2%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7Bn%7D)$