該r階子式的階數(shù)即為該矩陣的秩

補(bǔ)：①截?cái)酂o關(guān)，加長無關(guān)

②加長相關(guān)，截?cái)嘞嚓P(guān)

[指在一個(gè)行向量或者列向量里增加或者減少數(shù)。不是在一組向量里面增加或者減少向量]

對(duì)比：①向量組部分相關(guān)，整體相關(guān)

②向量組整體無關(guān)，部分無關(guān)

應(yīng)用：用于判斷非方陣型矩陣的線性相關(guān)性（截?cái)酂o關(guān)，則加長無關(guān)……）

線性相關(guān)性的判斷方法：

①定義判斷

②將行向量依次作列（寫成齊次線性方程組的形式，系數(shù)是否全為零決定該線性方程組是否零解)構(gòu)成矩陣，判斷矩陣的秩是否和未知數(shù)個(gè)數(shù)相等。

③行列式

齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

α是行向量，記作（a1,a2,……an）

取每一個(gè)α的第i個(gè)數(shù)與每一個(gè)x相成，得到一個(gè)方程組。每一個(gè)x所組成的解是該解空間的一個(gè)向量。

問題：找出該w向量空間的基

定理：非齊次線性方程組的解集＝齊次線性方程組的任意解和該非齊組的一個(gè)固定解的和所組成的集合

證明：①必要性：分別表達(dá)非和齊然后相加②充分性：找出η，表達(dá)出η，然后證明

相似矩陣的性質(zhì)：

①A和B相似，則它們的行列式和秩相等

②相似矩陣的跡相等

矩陣的行列式，秩和跡稱為相似關(guān)系下的不變量

矩陣的跡的定義：主對(duì)角線上的元素相加

記為：tr

矩陣的跡的運(yùn)算律：

不懂這個(gè)等價(jià)，但大為震驚

正交變換的定義：

滿射，且保內(nèi)積不變的變換。

①實(shí)質(zhì)：一種保向量長度不變的線性變換

保實(shí)內(nèi)積不變

②性質(zhì)：保向量長度，兩非零向量夾角，向量內(nèi)積不變,保正交性不變，保距離不變

可推出其為線性變換，且是雙射，有逆映射。即為同構(gòu)映射。保距同構(gòu)

證明兩向量相等的方法：相減為零向量

自己和自己的內(nèi)積為零

證明線性映射是單射：

①像一樣，推出原象一樣

②ker的核＝O

命題一：正交變換等價(jià)于v到v的保距同構(gòu)

命題二：正交變換的逆變換也是正交變換

兩個(gè)正交變換的乘積也是正交變換

有限維歐式空間中證明正交變換等價(jià)于保向量內(nèi)積

有限維空間的線性變換，單射=滿射