對(duì)于傅里葉級(jí)數(shù)，先看看它的來歷：

也就是將一個(gè)復(fù)雜函數(shù)分解為簡單函數(shù)：余弦波。其指數(shù)形式如下：

傅里葉級(jí)數(shù)是在周期函數(shù)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。

然后假設(shè)這個(gè)周期為無窮大，就得出了傅里葉變換FT：

我們注意到，圖1和圖2中分別存在dt和dw的微分因子，說明

在傅里葉變換的概念里面，時(shí)間和頻率都是連續(xù)的。

再由傅里葉變換引出拉普拉斯變換：

上述傅里葉變換和拉普拉斯變換都是在連續(xù)時(shí)間域進(jìn)行分析得到的，如果進(jìn)入離散時(shí)間域：

上圖中的k，代表的是第幾個(gè)離散函數(shù)點(diǎn)的意思。令T=1，得到

這里的序列傅里葉變換也就是

而上圖公式也就是離散時(shí)間傅里葉變換DTFT：

上圖中的DTFT表達(dá)式也可以由圖1中的傅里葉變換表達(dá)式直接得出，只要令

這個(gè)表達(dá)式中的 t 變成 n 就可以了。t 代表的是連續(xù)的時(shí)間段，而 n 代表的是離散的時(shí)間點(diǎn)，因此，DTFT相對(duì)于FT來說，只要簡單地把時(shí)間離散化就可以了。

我們還注意到，圖4與圖5相比，僅僅是時(shí)間被離散化了，頻率w并沒有，因此，DTFT的頻率w還是連續(xù)的，也就是說，DTFT的頻譜是連續(xù)的。

同時(shí)，我們還可以得出DTFT和z變換的關(guān)系：

z變換的單位圓就是：

既然DTFT與FT相比，只是時(shí)間被離散化了，那么，是否可以進(jìn)一步對(duì)頻率w也進(jìn)行離散化呢？答案是可以的，這就是DFS：

這里對(duì)頻率w進(jìn)行離散的方法就是以

為間隔，而

就相當(dāng)于頻率w，另外

表示的是復(fù)平面單位圓上等間隔的采樣點(diǎn)。

上面DFS的推導(dǎo)是以周期序列為基礎(chǔ)的，那么，對(duì)于非周期序列來說，可不可以進(jìn)行傅里葉變換呢？當(dāng)然可以，這就是DFT：

可以看出，DFT與圖6的DFS相比，并沒有什么不同，這是因?yàn)镈FT中的序列雖然是非周期有限長序列，但只要對(duì)這個(gè)序列進(jìn)行周期拓展，就可以認(rèn)為拓展以后的序列就是DFS中的周期序列。

頻率離散化的意義可以圖示如下：

進(jìn)一步的區(qū)別：

從上圖可以看出，DTFT的頻譜是連續(xù)的，DFS（DFT）的頻譜是離散的，也是從DTFT的頻譜等間隔取樣得到的。

幾種變換相互轉(zhuǎn)換的方法：

上圖表明，由于DTFT是相對(duì)于無窮序列的，所以必須截?cái)嗖拍軐?shí)際應(yīng)用；DTFT和DFT中的時(shí)域非周期信號(hào)都可以周期延拓為DFS中的周期序列，等等。

進(jìn)一步與z變換的聯(lián)系如下圖：

三者理論上的聯(lián)系：

一個(gè)信號(hào)實(shí)際的DTFT與DFT：

簡單總結(jié)：

1：連續(xù)周期函數(shù)的分解導(dǎo)出了傅里葉級(jí)數(shù)，非周期函數(shù)的分解導(dǎo)出了傅里葉變換。

2：為了解決傅里葉變換中的函數(shù)收斂問題，得出了拉普拉斯變換。

3：為了對(duì)離散時(shí)間序列進(jìn)行分解，得出了Z變換。

4：對(duì)傅里葉變換中的時(shí)間 t 進(jìn)行離散化以后，得到了離散時(shí)間傅里葉變換DTFT。

5：在DTFT的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行頻率的離散化，就得出了DFS和DFT。

6：單位圓上的Z變換就是DTFT。

7：對(duì)連續(xù)的DTFT頻譜進(jìn)行等間隔采樣，就得到DFT頻譜。