《幾何原本》命題3.36【夸克歐氏幾何】
命題3.36：
如果圓外一點(diǎn)向圓引兩條直線，一條與圓相切，一條穿過(guò)圓，那么該點(diǎn)到圓凸弧的線段與該點(diǎn)到圓凹弧的線段所構(gòu)成的矩形等于切線上的正方形
已知：圓ABC，點(diǎn)D，BD切圓于點(diǎn)B，AD交圓凸弧于點(diǎn)C
求證：S矩形AD×CD=S正方形BD2
當(dāng)AD過(guò)圓心時(shí)
解：
求出圓ABC的圓心點(diǎn)F
（命題3.1）
連接BF
證：
∵點(diǎn)F是AC中點(diǎn)，CD在AC的一端
（已知）
∴S矩形AD×CD+S正方形CF2=S正方形DF2
（命題2.6）
∵點(diǎn)F為圓ABC的圓心
（已知）
∴BF=CF
（定義1.15）
∴S矩形AD×CD+S正方形BF2=S正方形DF2
（公理1.1）
∵BD切圓ABC于點(diǎn)B
（已知）
∴BD⊥BF
（命題3.18）
∴∟DBF是直角
（定義1.10）
∴Rt△BDF中，S正方形DF2=S正方形BD2+S正方形BF2
（命題1.47）
∴S矩形AD×CD+S正方形BF2=S正方形BD2+S正方形BF2
（公理1.1）
∴S矩形AD×CD=S正方形BD2
（公理1.3）
當(dāng)AD不過(guò)圓心時(shí)
解：
求出圓ABC的圓心點(diǎn)E
（命題3.1）
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD
（命題1.12）
連接BE，CE，DE
證：
∵EF⊥AD
（已知）
∴點(diǎn)F是AC中點(diǎn)
（命題3.3）
∵CD在AC的一端
（已知）
∴S矩形AD×CD+S正方形CF2=S正方形DF2
（命題2.6）
∴S矩形AD×CD+S正方形CF2+S正方形EF2=S正方形DF2+S正方形EF2
（公理1.2）
∵Rt△CEF中，S正方形CE2=S正方形CF2+S正方形EF2
（命題1.47）
∴S矩形AD×CD+S正方形CE2=S正方形DF2+S正方形EF2
（公理1.1）
∵Rt△CEF中，S正方形DE2=S正方形DF2+S正方形EF2
（已知）
∴S矩形AD×CD+S正方形CE2=S正方形DE2
（公理1.1）
∵點(diǎn)E是圓ABC
（已知）
∴BE=CE
（定義1.15）
∴S矩形AD×CD+S正方形BE2=S正方形DE2
（公理1.1）
∵BD切圓于點(diǎn)B
（已知）
∴∟DBE是直角
（定義1.10）
∴Rt△BDE中，S正方形DE2=S正方形BD2+S正方形BE2
（命題1.47）
∴S矩形AD×CD+S正方形BE2=S正方形BD2+S正方形BE2
（公理1.1）
∴S矩形AD×CD=S正方形BD2
（公理1.3）
證畢
此命題將在下一命題中被使用
來(lái)都來(lái)了，點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄！
