自己寫的圖一樂。

2.2.2

由于得從1開始歸納讓人頭疼。因為沒有“序”的概念，所以我就繞過它好了。

定義P(n)是關于自然數(shù)n的性質(zhì)，滿足:若n≠0，恰好存在一個自然數(shù)b，有b++=n。現(xiàn)在證明P(n)成立就行了。（……只能說觀感好了一點吧）

對n進行歸納。

1.若n=0，則P(n)莫須有成立。

就是說，如果一個蘊含命題的前提為假，那么無論結(jié)論如何，該命題都是對的。比如，“如果國足世界杯奪冠，那……”，由于你心理已經(jīng)認為前提是不可能的了，所以你只會回一句“啊對對對”

2.歸納性地假設P(n)成立，證P(n++)成立。即證存在自然數(shù)b'，滿足b'++=n++:

由公理2.4，b'=n是一個選擇，并且是唯一的。我們最好用已經(jīng)明確的數(shù)來描述b':根據(jù)假設，當n=0時，存在自然數(shù)b'=0唯一滿足b'++=n++;當n≠0時，存在自然數(shù)b，滿足n=b++，因此令b'=b++，根據(jù)公理2.2，b'也是個自然數(shù)。至此，歸納結(jié)束，對于任何自然數(shù)n，P(n)恒為真。

2.2.5

復雜得頭疼。

定義Q(n)如提示，我們可以知道，若對于任意自然數(shù)n都有Q(n)成立，命題成立。因為可以隨便取n的值嘛，令m=n，自然就可以隨便取m，讓P(m)成立了。

這樣就把命題具體化了。我們用歸納法處理Q(n)

對n進行歸納。

1.利用提示發(fā)現(xiàn)Q(0)成立。

因為根據(jù)定義有:m?≤m≤0，要么m范圍為空，此時Q(m)莫須有成立；要么m=m?=0，根據(jù)P(m)性質(zhì)發(fā)現(xiàn)P(m')的取值范圍為空，故P(m)成立，那么此時Q(n)也成立。（范圍內(nèi)的所有m的取值對應的P(m)成立，Q(n)就成立）

2.歸納性地假設Q(n)成立，證Q(n++)成立:

若Q(n)成立，則對于m?≤m≤n的所有m，P(m)都成立，即m?≤m'（結(jié)合序中的(d)和(e)），故由P(m)的性質(zhì)得到P(m)成立，故得證Q(n++)。歸納結(jié)束。

（直觀上看，Q(n)成立就是說:P(m?)，P(m?+1)，P(m?+2)，……，P(n)成立，但是P(m)本身呢，是說如果前面一串都成立，那么后一個也就成立，因此Q(n++)就很好證了。當然，有一個問題就是，如果這個排列不成立，比如n<m?，該怎么辦?提示就是告訴我們此時m取值范圍為空。）

貼一下m<n++當且僅當m≤n:

由(e)m++≤n++，再由(d)得m≤n。

反過來再證一下就行了。

2.2.6

其實挺常規(guī)的。

對n進行歸納。

1.當n=0時，有P(0)為真，欲證：P(m)對任意滿足m≤0的自然數(shù)m均為真。

由于m≥0（習題2.2.4已經(jīng)證了），故m=0，即證P(0)，由題可知成立。

2.歸納性地假設原命題成立，且P(n++)為真，證明P(m)對任意滿足m≤n++的自然數(shù)都成立:

由于P(n++)為真，由性質(zhì)可知P(n)為真。再根據(jù)假設可知P(n)為真，則P(m)對于任意滿足m≤n的自然數(shù)都成立，故得證。（這里要證明m≤n++等價于m≤n和m=n++，可以利用(f)）。歸納結(jié)束。

若m≤n++，存在自然數(shù)b，有n++=m+b，若b=0，則m=n++;若b≠0，則b是正自然數(shù)，m<n++，等價于m≤n。

2.3.1

容易引起混淆。

引理1:（右乘0）對任意自然數(shù)n，證明n×0=0

證明略

引理2:（右乘）對任意自然數(shù)n，m，證明m×(n++)=(m×n)+m

要注意一下，如果把這里的m×n寫成n×m是證不出來的。

剩下證明略

2.3.5

常規(guī)。

對n進行歸納。

1.當n=0時，欲證存在自然數(shù)m，r，使得0≤r<q，滿足n=mq+r。即0=mq+r:

由于mq，r都是自然數(shù)(定義2.3.1下方)，根據(jù)推論2.2.9知mq=0，且r=0。又由引理2.3.3可知，若q≠0，則m=0。故唯一存在m=0，r=0，使提問成立。

2.假設已經(jīng)證明了該命題，求證存在自然數(shù)m'，r'，使得0≤r'<q，滿足n++=m'q+r':

由假設有n=mq+r，故n++=(mq+r)++=mq+(r++)。由r<q，即r++≤q，可知r++=q，或r++<q。（與之前的證明差不多）

若r++=q，則n++=(m++)q=(m++)q+0，此時取m'=m++，r'=0。若r++<q，則取m'=m，r'=r++。故得證，歸納結(jié)束。

施工結(jié)束！（手機打字好累……）