Part 1?假數(shù)組/偽數(shù)組（Subset Counting）

如圖所示。我們觀察r5c2359和r6c2這五個(gè)單元格。它們有一個(gè)神奇的地方是，恰好五格里面剛好只有五種不同的候選數(shù)1、4、5、7、8。這恰好滿足數(shù)組的定義啊，但是這一定就是一種數(shù)組嗎？當(dāng)然不能直接確定了。數(shù)組的定義是必須規(guī)定于同一區(qū)域下的，而這里的五格包含跨區(qū)域的單元格，比如這里r6c2和r5c9兩格，就根本沒(méi)啥聯(lián)系了。

那我們這么去想這個(gè)問(wèn)題：既然長(zhǎng)得很像數(shù)組，那就分“內(nèi)部填數(shù)不重復(fù)”和“內(nèi)部填數(shù)有重復(fù)”來(lái)討論情況吧。

我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)字1、4、5、7、8這五種數(shù)字里面，只可能有數(shù)字7可能會(huì)重復(fù)。因?yàn)?的位置可以同時(shí)填入到r6c2和r5c9之中，這樣它們兩格沒(méi)有直接關(guān)系，就可能產(chǎn)生重復(fù)。但是，其余的數(shù)字都不可能重復(fù)，比如1的位置就只出現(xiàn)在r5c39中，恰好r5c39同行（r5），所以這兩格一定只可能有其中一格是1的；同理，4的位置也只出現(xiàn)在r5c23之中，恰好r5c23同行（r5）和同宮（b4），所以4在這五格里面就更不可能重復(fù)了；那么5和8的分析方式也是一樣的（5的所有填數(shù)可能均同行，8的填數(shù)可能均同宮）。所以唯獨(dú)數(shù)字7可能有重復(fù)。

那么，如果要把1、4、5、7、8這五種數(shù)字填入到這五格之中去的話，當(dāng)內(nèi)部有重復(fù)（就假設(shè)此時(shí)r5c9和r6c2同時(shí)是7）時(shí)，剩余的r5c235三格，就有四種填入的數(shù)字（1、4、5、8）可選。這樣一來(lái)，究竟是其中的哪三種數(shù)字被選進(jìn)去填入了，我們無(wú)從得知。所以這方面的情況我們確定不了。但是我們能確定的是，不管重不重復(fù)，數(shù)字7在結(jié)構(gòu)之中都是不可缺少的。換句話說(shuō)，這四格的數(shù)字7，是不可能全部從盤面之中消失的。同時(shí)全被去掉時(shí)，這五格里面就只剩下四種數(shù)字（1、4、5、8）了，又因?yàn)樗鼈円欢ㄊ遣豢商顢?shù)重復(fù)的，所以這顯然是不夠的，所以便產(chǎn)生了矛盾。

于是乎，我們得到了結(jié)論：不管內(nèi)部怎么填數(shù)，數(shù)字7都是不可缺少的，所以刪除掉的是四格候選數(shù)7共同對(duì)應(yīng)到的位置。所以，r5c1 <> 7。

這個(gè)結(jié)構(gòu)稱為偽數(shù)組（或假數(shù)組，Extended Subset Principle/SubSet Counting）。偽數(shù)組分析起來(lái)相當(dāng)痛苦，也很費(fèi)勁，而結(jié)論卻如此“草率”。那么有沒(méi)有什么辦法更為簡(jiǎn)單呢？或者說(shuō)，怎么樣觀察和使用更快一些呢？

Part 2?跨區(qū)數(shù)組刪數(shù)理論和原理

偽數(shù)組的分析方向大體是按照是否是一個(gè)“跨區(qū)域的數(shù)組”來(lái)看的。如果是，則內(nèi)部不重復(fù)；而如果不是，則內(nèi)部一定有重復(fù)的數(shù)字。然后就去找重復(fù)的數(shù)字到底是多少。而偽數(shù)組有一個(gè)特征，這在剛才我們推導(dǎo)原理時(shí)，就得到了一點(diǎn)：偽數(shù)組假設(shè)內(nèi)部有重復(fù)的話，唯一有重復(fù)可能的數(shù)字一定不可全部從盤面之中消失。所以，在觀察和找結(jié)論的時(shí)候，只要判斷出唯一可重復(fù)的數(shù)字是多少，找到交集，就可以直接刪數(shù)了。

那么，有沒(méi)有一眼看出來(lái)，是一個(gè)跨區(qū)域的結(jié)構(gòu)，但是內(nèi)部一定不重復(fù)的呢？有的，比如這個(gè)例子。

如圖所示。觀察r34c34四格，內(nèi)部只有1、4、6、8四種數(shù)字，而恰好填入于四格之中。但巧妙的是，1、4、6、8都不可重復(fù)，因?yàn)閿?shù)字1的所有填數(shù)位置同列，數(shù)字4的所有填數(shù)位置通同列，數(shù)字6的所有填數(shù)位置同行，8的所有填數(shù)位置同行。所以這根本不可能有重復(fù)的填數(shù)情況的。

我們稱，如果在分析一個(gè)偽數(shù)組時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的內(nèi)部一定不重復(fù)的話，這個(gè)結(jié)構(gòu)就叫分布式跨區(qū)數(shù)組（Distributed Disjointed Subset，簡(jiǎn)稱DDS），簡(jiǎn)稱跨區(qū)數(shù)組。那么一個(gè)DDS的刪數(shù)應(yīng)該如何呢？

由于內(nèi)部不重復(fù)的關(guān)系，一個(gè)跨區(qū)數(shù)組內(nèi)一定恰好只填入這些數(shù)字，換句話說(shuō)，這些數(shù)字都是必不可少的。因此，比如圖上示例，由于1的填數(shù)一定出現(xiàn)在r34c4上，所以c4內(nèi)其余單元格都不可以是1；6的填數(shù)一定出現(xiàn)在r4c34上，所以r4內(nèi)其余單元格都不可以是6，而4和8也是一樣。所以，刪數(shù)已經(jīng)全部標(biāo)注在圖上了。當(dāng)然了，該示例還有一個(gè)DDS，請(qǐng)你尋找一下。

Part 3?SDC和跨區(qū)數(shù)組

SDC特別麻煩，分了好多種不同的情況來(lái)討論和分析。不過(guò)，最終我們發(fā)現(xiàn)，很多“恰好”滿足的情況，就比如三個(gè)單元格融合示例（即帶區(qū)塊示例）里的1、4數(shù)對(duì)、2、6、7三數(shù)組和這個(gè)單獨(dú)的9，都是“恰好”形成的。那這么多“恰好”，真的是偶然導(dǎo)致的嗎？現(xiàn)在我們就來(lái)看一下這個(gè)問(wèn)題。

如圖所示，這是一個(gè)SDC，不過(guò)我沒(méi)有分成橙色和綠色來(lái)涂色。因?yàn)檫@樣更接近于偽數(shù)組的分析方式。

我們使用偽數(shù)組的分析方式來(lái)看，它是一個(gè)跨區(qū)七數(shù)組，但是巧妙的是，內(nèi)部并不可能有可以重復(fù)的數(shù)字，因?yàn)?、2、3、4同列（c8），而7、8、9同宮（b6），所以它是DDS。按照DDS的刪數(shù)原則，c8內(nèi)其余單元格都不可以是1、2、3、4；而b6內(nèi)的其余單元格都不可以是7、8、9了。于是刪掉它們。

SDC的觀察或許比較麻煩，因?yàn)樾枰謨蓚€(gè)區(qū)域來(lái)假設(shè)其待定數(shù)組的情況。但是使用偽數(shù)組角度，是不是會(huì)稍微輕松一些呢？

融合待定數(shù)組（SDC）還有一個(gè)名字叫雙區(qū)域分布式跨區(qū)數(shù)組（Two-sector Disjoint Subset），就是因?yàn)檫@個(gè)原因。