牛頓353、不定積分的定義

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積分（百度百科）：積分是微積分學與數(shù)學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。

…積：見《牛頓19》…

…分：見《牛頓3》…

…數(shù)、學、數(shù)學，分、析、分析，數(shù)學分析：見《歐幾里得49》…

（…《歐幾里得》：小說名…）

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…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

…定：見《歐幾里得2》…

…定積分：見《牛頓337~352》…

…不：見《歐幾里得40》…

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不定積分（百度百科）：一個函數(shù)f的不定積分（或原函數(shù)，或反導數(shù)），是一個導數(shù)等于f的函數(shù)F，即F’=f。

…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…

…導、數(shù)、導數(shù)：見《牛頓288~294》…

2018-11-18，網(wǎng)友“天天做作業(yè)雙子”上傳名為《不定積分的幾何意義》的文檔。

…幾、何、幾何：見《歐幾里得28》…

…意、義、意義：見《歐幾里得26》…

文檔內(nèi)容：

…內(nèi)、容、內(nèi)容：見《歐幾里得66》…

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引言

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積分學分為不定積分與定積分兩部分。

不定積分是作為函數(shù)導數(shù)的反問題提出的，而定積分是作為微分的無限求和引進的，兩者概念不相同，但在計算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。

…微、分、微分：見《牛頓321~336》…

…無、限、無限：見《牛頓202》…

…概、念、概念：見《歐幾里得22、23》…

…計、算、計算：見《歐幾里得157》…

本章主要研究不定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法。

…研、究、研究：見《歐幾里得42》…

…性、質(zhì)、性質(zhì)：見《歐幾里得37》…

…基、本、基本：見《歐幾里得2》…

…方、法、方法：見《歐幾里得2、3》…

本章主要內(nèi)容：

第一節(jié) 原函數(shù)與不定積分

第一節(jié)?原函數(shù)與不定積分

1 不定積分的概念

2 不定積分的基本公式和運算法則

…公：見《歐幾里得1》…

…式、公式：見《歐幾里得132》…

…運、算、運算：見《歐幾里得121》…

…法、則、法則：見《歐幾里得108》…

1 不定積分的概念

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在小學和中學我們學過逆運算：

如：加法的逆運算為減法

乘法的逆運算為除法

指數(shù)的逆運算為對數(shù)

…指、數(shù)、指數(shù)：見《歐幾里得114》…

…對、數(shù)、對數(shù)：見《牛頓133~135》…

微分法：F’（x）=（？）

積分法：（？）’=f（x）

——互逆運算

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設已知F（x）

設已知f（x）

——反問題呢？

定義

…定、義、定義：見《歐幾里得28》…

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若在某一區(qū)間上，F(xiàn)’（x）=f（x），則在這個區(qū)間上，函數(shù)F（x）叫做函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)。

一個函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，而是有無窮多個，比如：（sin x）’=cos x

所以sin x是cos x的一個原函數(shù)，而sin x+C（C可以取任意多的常數(shù)）是cos x的無窮多個原函數(shù)。

一般的，若F’（x）=f（x），F(xiàn)（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則等式

[F（x）+C]’=F’（x）=f（x）成立（其中C為任意常數(shù)），從而一簇曲線方程F（x）+C是f（x）無窮多個原函數(shù)。

如果一個函數(shù)f（x）在一個區(qū)間有一個原函數(shù)F（x），那么f（x）就有無窮多個原函數(shù)存在，無窮多個原函數(shù)是否都有一致的表達式F（x）+C呢？

定理

…定、理、定理：見《歐幾里得2》…

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若F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則f（x）的所有原函數(shù)都可以表示成F（x）+C（C為任意常數(shù)）。

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思考：如何證明？

…證、明、證明：見《歐幾里得6》…

定義

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若F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則f（x）的所有原函數(shù)F（x）+C稱為f（x）的不定積分（indefinite integral），記為∫f（x）dx=F（x）+C

其中∫稱為積分號，x稱為積分變量，f（x）稱為被積函數(shù)，C稱為積分常數(shù)，f（x）dx稱為被積表達式。

…indefinite：adj.無限期的；期限不定的；模糊不清的；不明確的…

…integral：adj.完整的；不可或缺的；必需的；作為組成部分的；完備的

n.積分；整體…

…∫：積分符號，為字母s的拉長…見《牛頓338》…

…d：differential（微分）首字母…

[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。

adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。

——《牛頓321》

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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問

2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。

dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。

dx就是對x的微分，是把增量細微化，dx就是很小很小的一個x。

——《牛頓3》]

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…變、量、變量：見《歐幾里得29》…

…常、數(shù)、常數(shù)：見《歐幾里得132》…

“由于函數(shù)f（x）的不定積分F（x）+C中含有任意常數(shù)C，因此對于每一個給定的C，都有一個確定的原函數(shù)，在幾何上，相應地就有一條確定的曲線，稱為f（x）的積分曲線。

因為C可以取任意值，因此不定積分表示f（x）的一簇（cù）積分曲線，即F（x）+C

請看下集《牛頓354、不定積分的幾何意義》”

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