學(xué)習(xí)了參數(shù)曲線的定義，然后我們就開(kāi)始學(xué)習(xí)曲面的定義，二者都有相似之處。

1.正則曲面

? ? ?思路：參數(shù)曲線的定義是將一維映射到三維，那么曲面就是將二維平面映射到三維，標(biāo)準(zhǔn)定義如下：

這個(gè)映射要滿足相應(yīng)的條件，（1）映射函數(shù)r(u,v) k階處處可微 （2） ?? （r_u是指r對(duì)于u的偏導(dǎo)，r_v 同理）這兩條件表示其滿足了局部的一一連續(xù)對(duì)應(yīng)

那么我們用參數(shù)表示就是曲面S：r=r(u,v) ，u,v是平面的參數(shù)，那么我們固定一個(gè)參數(shù)，就可以得到曲線：r=r(u_0,v) or r=r(u,v_0)，這就構(gòu)成了一個(gè)覆蓋曲面的參數(shù)網(wǎng)，這里我們就明白為什么要求???，因?yàn)閞_u可以叫做u曲線切向量，他倆平行意味著映射不是一一對(duì)應(yīng)。

2.切平面與法線

2.1 曲面上的曲線：就是用參數(shù)t規(guī)定了平面上的一條曲線然后再通過(guò)映射到三維曲面上：r=r(u,v),u=u(t),v=v(t)，見(jiàn)下圖

2.2 切向量

由于r=r(u(t),v(t)), 那么?說(shuō)明曲面上曲線的切向量是u的切向量和v的切向量的線性組合

2.3 切平面

確定切平面，稱(chēng)為(S在P點(diǎn)的切平面)，單位法向量,那么可以定義三種平面方程：

?

?點(diǎn)法式

?法線方程：

3 曲面定向

單位法向量沿著任意曲線轉(zhuǎn)一周方向重合就是可定向曲面，其方向可由確定。反例：莫比烏斯環(huán)。

4 可允許的參數(shù)變換

可證 曲面的切平面在參數(shù)變換下不變