接下來的lemma則間接說明了道路同倫的提升仍然是道路同倫：

證明如下：

對于此題，思路與lemma54.1如出一轍，所以證明唯一性類似于lemma54.1。 而如果F是道路同倫，我們只需利用下方第二個(gè)圖中I*I的連通性，說明F的提升將正方形左邊（0*I）和右邊（1*I）映射到單點(diǎn)集即可（B中單點(diǎn)對于p的逆作為E的子空間具有離散拓?fù)洌?示意圖如下：

（抽象版）

（簡化版） 由lemma54.2啟發(fā)，我們直接找出兩個(gè)道路同倫的道路，觀察其提升后的關(guān)系，就有如下的lemma：

證明如下：

（圖示）

下面將考慮基本群了，首先定義提升對應(yīng)：

則有l(wèi)emma54.4，該定理說明了E滿足某些連通性質(zhì)后，提升對應(yīng)將有很好的性質(zhì):

證明如下：

其中最后一步，我們用E單連通來說明f的提升與（-g）的提升的粘接與e0本身的恒同道路同倫（E的單連通性質(zhì)），進(jìn)而說明f的提升與g的提升道路同倫。 我們對于Sn的基本群非常感興趣，下一個(gè)lemma說明了S1基本群的性質(zhì)：

接下來，我們將lemma54.4做出加強(qiáng)：

第一問的證明如下：

其運(yùn)用了線代的一個(gè)小結(jié)論：單同態(tài)等價(jià)于核平凡。 第二三問證明如下：

簡單的按照定義即可。