前言：洛必達(dá)法則是非常重要的工具，它主要應(yīng)對(duì)那些比較棘手的極限

類型A1：0/0

一、法則

二、例子

比如求

如果直接把3代入，我們會(huì)得到0/0的式子，這個(gè)時(shí)候我們可以使用洛必達(dá)法則。

對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，我們會(huì)得到

然后再把3代入，就得到

這道題的另外一種解法就是因式分解，也可以得到相同的結(jié)果

類型A2：±∞/±∞

    對(duì)于±∞/±∞的情況，也可以使用洛必達(dá)法則，比如這道

    我們發(fā)現(xiàn)，把∞代入，就會(huì)得到±∞/±∞的情況，所以我們使用洛必達(dá)法則，對(duì)分子分母求導(dǎo)，得到

    

    當(dāng)x->∞，7/4x會(huì)趨向于0，即

類型B1：(∞-∞）

    比如這道

我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x->0時(shí)，1/sinx和1/x都會(huì)趨向∞，也就是∞-∞這種形式。我們?cè)撛趺唇鉀Q這個(gè)問(wèn)題呢？

通分！

我們把這個(gè)式子進(jìn)行通分，得到：

然后發(fā)現(xiàn)，把0代入得到0/0這個(gè)不定式，所以可以使用洛必達(dá)定則

對(duì)分子分母求導(dǎo)，得到：

讀者：我到你這一步，怎么還是會(huì)得到0/0這個(gè)不定式，你騙銀╰（‵□′）╯

如果遇到使用洛必達(dá)法則后還是和原來(lái)的結(jié)果一樣，我們可以再使用一次洛必達(dá)法則，即：

到這里，我們不必再使用一次洛必達(dá)（不然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)椴环项愋土耍?/p>

代入得到

解題通法：遇到分式先通分，然后考慮是否能夠使用洛必達(dá)法則；如果不是分式，那就讓原有的式子再乘上除上其共軛表達(dá)式（比如[√(x+1)-√x]的共軛表達(dá)式是[√(x+1)+√x]）

類型B2：（0 × ±∞）

比如這道

為什么是右極限呢，因?yàn)閷?duì)于這個(gè)式子而言，不存在所謂的左極限（原因就是ln x中的x只能大于0）

我們知道,當(dāng)x->0(+), 式中的x->0, lnx->-∞。所以這個(gè)極限是0×-∞ 這個(gè)不等式。

我們?nèi)绾翁幚?？最好的方法就是把這個(gè)類型轉(zhuǎn)換為類型A

特別的：

也就是

現(xiàn)在變成了-∞/∞型，滿足類型A2，所以我們使用洛必達(dá)法則

代入，得到

類型C：（1^±∞，0^0或∞^0）

我稱這個(gè)為指數(shù)類型，也就是這個(gè)類型的極限經(jīng)常涉及到取對(duì)數(shù)然后最后取指數(shù)。怎么說(shuō)呢，直接看例題：

比如這個(gè)

我們發(fā)現(xiàn)，x->0(+)時(shí)，式中x->0;sinx->0，屬于0^0型

基本方法是先對(duì)這個(gè)式子取對(duì)數(shù)，即

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，得到

在這里，當(dāng)x->0(+)時(shí)，式中sinx->0; lnx->-∞，屬于B2類型。但注意的是，我們?cè)谔幚鞡2類型時(shí)，我們都是將B2轉(zhuǎn)換為A類型的

幸運(yùn)的是，有

所以代入，得到

于是轉(zhuǎn)換為A類型了，使用洛必達(dá)法則，對(duì)分子分母進(jìn)行求導(dǎo)，得到

化簡(jiǎn)，得到

這就是最終答案了

才怪！你還記得一開(kāi)始我們做了什么？沒(méi)錯(cuò)就是取對(duì)數(shù)，要想恢復(fù)就得逆過(guò)來(lái)：取指數(shù)

也就是

這就是最終結(jié)果了

騷年，來(lái)習(xí)題嗎？

附錄1：相關(guān)極限證明

我終于給出了一些極限的證明了(￣▽￣)"（拖的難受）

附錄2：習(xí)題答案