問題：

設(shè)T是平面中所有整點(diǎn)的集合，對于整點(diǎn)(x,y)和(u,v)，當(dāng)且僅當(dāng)|x-u|+|y-v|=1時，稱為相鄰的點(diǎn).

求證：

?S?T，?P∈T，在P及其相鄰的點(diǎn)中恰有一個屬于S.

標(biāo)準(zhǔn)解答：

設(shè)P(x,y)為整點(diǎn)，則與其相鄰的四點(diǎn)為(x,y±1),(x±1,y)，構(gòu)造函數(shù)：

則P與其相鄰的點(diǎn)對應(yīng)5個不同的值：

這是5個相鄰的整數(shù)，故其中有且僅有一個能夠被5整除.? 于是，令：

滿足題意，則S即為題目所求

有關(guān)Minecraft的聯(lián)想：

通過分析我們不難發(fā)現(xiàn)，對于S中的每一個整點(diǎn)，其上下左右的四個整點(diǎn)必定不屬于S，這樣便形成了一個十字形結(jié)構(gòu).

由于題目是證明S的存在性，因此我們只需要給出一個合適的S即可.

熟悉Minecraft的讀者們可以發(fā)現(xiàn)：這與甘蔗的種植似乎有些許關(guān)聯(lián).

對于Minecraft的甘蔗，其能夠種植的其中一個條件為：甘蔗下的方塊與水相鄰.

于是，我們可以將S中的元素看作水，P看作甘蔗.

那么，題目所給的條件便是在原游戲機(jī)制上加上了每株甘蔗與且僅與一格水相鄰.

那么對甘蔗種植比較了解的讀者一定就能想到下圖所示方案：

那么，我們要如何用數(shù)學(xué)語言去描述集合S呢？

對S中的集合進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)：

對于集合S中的元素s_1和s_2，總有以下等式成立：

不妨以S中的某一元素為原點(diǎn)，即可得到：

注意到：

于是S等價于：

這與標(biāo)準(zhǔn)答案給出的S也是等價的，二者只需做一個反射變換即可得到彼此.

注意：這部分僅供做題時的思考，不可當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)答案（應(yīng)該不會有人這么干吧...）