【熟肉】線性代數(shù)的本質(zhì) - 08第二部分 - 以線性變換的眼光看叉積
- 給定三維常向量v,m，構(gòu)建一個從三維到一維（從x,y,z到行列式的值）的線性變換：f(x)=det([x,v,m])
- 因為是線性變換，所以可以寫成[p,q,r][x,y,z]^T=det([x,v,m])，即p·x=det([x,v,m])。整理可得p=v2w3-v3w2，q=v3w1-v1w3，r=v1w2-v2w1。p,q,r的值唯一確定
- 從幾何角度考慮，因為|det([x,v,m])|等于由x,v,m確定的平行六面體的體積V，所以p·x=V。不難想到，當p垂直于v,m底面且長度等于該面面積時p·x=V成立（因為此時x在p所在直線上的投影長度恰為v,m底面的高）。此時p的坐標必然與2中的對應(yīng)
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