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【數(shù)學基礎(chǔ)139】常微分方程:史濟懷老師視頻微分方程相關(guān)內(nèi)容總結(jié)(八)

2023-02-20 23:35 作者:躺坑老碧的學習瞎記  | 我要投稿

史濟懷老師視頻課微分方程部分——

&3.二階線性微分方程的一般理論

&3.1二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)

定義:設(shè)?φ1(x),……?,φm(x)是定義在(a,b)上的m個函數(shù),如果存在不全為0的c1,……,cm,使得c1φ1(x)+……+cmφm(x)=0,x屬于(a,b)就稱φ1x,?,φm(x)在(a,b)上線性相關(guān),否則,稱為線性無關(guān)的。? ?

推廣:兩個函數(shù)y1(x),y2(x)線性相關(guān),即在(a,b)上的2個函數(shù),如果存在不全為0的c1,c2,使得c1y1(x)+c2y2(x)=0,x屬于(a,b)就稱y1(x),y2(x)在(a,b)上線性相關(guān),否則,稱為線性無關(guān)的。

推論:兩個函數(shù)線性相關(guān),則一個函數(shù)是另一個函數(shù)的常數(shù)倍。

證明:

  1. 兩個函數(shù)y1(x),y2(x)在(a,b)線性相關(guān),即——

    在(a,b)上的2個函數(shù),存在不全為0的c1,c2,使得c1y1(x)+c2y2(x)=0,x屬于(a,b);

  2. 假設(shè)c1≠0,由c1y1(x)+c2y2(x)=0,y1(x)=-(c2/c1y2(x),得證。


例1:求證 1,(cos x)^2,(sin?x)^2是否線性相關(guān)。

解:

  1. 由經(jīng)驗知(cos x)^2+(sin?x)^2=1,即-1+(cos x)^2+(sin?x)^2=0;

  2. 則存在c1=-1,c2=1,c3=1,使得c1*1+c2*(cos x)^2+c3*(sin?x)^2=0,所以?1(cos x)^2,(sin?x)^2線性相關(guān)。

例2:求證?1,cos x,sin?x是否線性相關(guān)。

解:

(反證法)——

  1. 假設(shè)存在不全為0的數(shù)c1,c2,c3,使得c1*1+c2*cos x+c3*sin?x=0;

  2. 當x=0時,c1*1+c2*cos?0+c3*sin?0=c1*1+c2*1+c3*0=c1+c2=0;

  3. 當x=π/2時,c1*1+c2*cos?π/2+c3*sin?π/2=c1*1+c2*0+c3*1=c1+c3=0;

  4. 當x=π時,c1*1+c2*cos?π+c3*sin?π=c1*1-c2*1+c3*0=c1-c2=0;

  5. 由2、3、4得到,c1=c2=c3=0,與假設(shè)矛盾,故而,?1cos x,sin?x是線性無關(guān)。



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