Ep62介紹了如何由“閉區(qū)間套定理”反推“單調(diào)有界原理”的證明，即——

已知：

1. 閉區(qū)間套的無限序列——In=[an，bn]，n為正整數(shù)，滿足：I1包含I2包含……包含In包含In+1包含……；

2. lim（bn-an）=0，n趨向于無窮大時——

則這些區(qū)間的公共部分為唯一的一點/一個數(shù)。

求證：單增有上界（單減有下界）數(shù)列必有極限。

分析：首先明確已知條件，“閉區(qū)間套定理”是要用到的工具，一個單增有上界的數(shù)列是對象，證明的目的是找到一個數(shù)，這個數(shù)恰好是這個數(shù)列的極限，用構造“閉區(qū)間套無限序列”的方法。

這個證明分了三部分，算是利用“閉區(qū)間套定理”去作為工具去證明題目的一個套路了，反正這些做數(shù)學題時候比較成規(guī)律的內(nèi)容可以直接背下來，考試的時候即使完全不會，如果老師手軟了，起碼還能得點步驟分對吧？！——

Step1：構造閉區(qū)間套——找出一個數(shù)（要點：一個閉區(qū)間套等價于一個數(shù)，這是啥？一一對應啊，用一點代數(shù)的知識，就是）

1. 已知數(shù)列{xn}，對于任意n，滿足xn<xn+1，且存在實數(shù)b，使得xn<b——單增有界；

2. 我們?nèi)≌麛?shù)k，令a1=xk=a，b1=b，得到第一個閉區(qū)間[a1，b1]；

3. 將[a1，b1]等分成兩個閉區(qū)間，[a1，（a1+b1）/2]和[（a1+b1）/2，b1]——

   如果（a1+b1）/2是{xn}的上界，那么令a2=a1，b2=（a1+b1）/2，

   如果（a1+b1）/2不是{xn}的上界，那么令a2=（a1+b1）/2，b2=b1，

   得到第二個閉區(qū)間[a2，b2]；

4. 依次重復上述步驟……

5. 將[ak，bk]等分成兩個閉區(qū)間，[ak，（ak+bk）/2]和[（ak+bk）/2，bk]——

   如果（ak+bk）/2是{xn}的上界，那么令ak+1=ak，bk+1=（ak+bk）/2，

   如果（ak+bk）/2不是{xn}的上界，那么令ak+1=（ak+bk）/2，bk+1=bk，

   得到第k+1個閉區(qū)間[ak+1，bk+1]；

6. ……

7. 將上述步驟無限進行下去，即得到一個閉區(qū)間套無限序列Im=[am，bm]，他們的擁有唯一公共點x。

Step2：再證明x=lim?an=lim?bn

反證法——

1. 假如x不是{an}的極限，即，存在E>0，對任意自然數(shù)n，|an-x|>=E；

2. 由x的構造可知，對于任意自然數(shù)n，an<=x<=bn；

3. 由1,2可知，存在E>0，對任意自然數(shù)n，|bn-an|>=|an-x|>=E；

4. 又lim|bn-an|=0，即對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當n>N時，|bn-an|<ε；

5. 導出3,4矛盾，即x是{an}的極限；

6. 同理，x是{bn}的極限，x=lim?an=lim bn得證。

Step3：證明x即為數(shù)列{xn}的極限，即：對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N，當n>N時，|xn-x|<ε

1. 由閉區(qū)間的定義，對于任意m，有am<bm，取右邊極限，令m趨向于無窮，有am<=lim bm=x；

2. 由閉區(qū)間的構造可知，對于任意自然數(shù)m，bm是{xn}的上界，即，對于任意m、n，xn<=bm，取右邊極限，令m趨向于無窮，有xn<=lim?bm=x；——（我們?nèi)”樗械膎值，都有xn<=lim?bm=x，所以這個不等式恒成立）；

3. 由于數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，所以對于任意m，存在N'，使得使得n>N'時，xn>=xN'>=am；

4. 結合2、3，又對于任意m，存在N'，使得n>N'時，x>=xn>=xN'>=am；

5. 又x=lim?am，即，對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N"，當m>N"時，|?am-x|<ε，即x-ε/2<am<x+ε/2；

6. 結合4、5，有對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N=max{N'，N"}，當m>N，n>N時，x+ε>x>=xn>xN'>=am>x-ε，即|xn-x|<ε，即x為數(shù)列{xn}的極限，證畢。

這一步打的時候感覺就怪怪的，繞來繞去，最后發(fā)現(xiàn)還是錯的，那些點贊收藏的寶寶是不是覺得sun了dog了，今天我們來聊聊老碧犯了一個怎樣的錯誤，以及為啥會犯這個錯誤。

這個錯誤的癥結其實在于，這里面涉及了兩個變量，而這種表述是不能控制住雙變量的。

分析——

1. 首先，給定了一個m值，就會存在一個N'滿足條件3；

2. 給定了一個N'，也就對應了一個xN'的值；

3. 結合1、2，給定了一個m值，即給定了xN'的值；

4. 而給出了一個ε，則可以按照一定的關系確定了一個N"，以及此時的am取值范圍；

5. 所以以5為起點，給定一個ε，確定N"，得到am取值范圍，但是每一個am都對應一個特定的N'，所以N"可以根據(jù)ε確定，而N'卻不會同時確定下來，依然是一個變量，所以一個給定的常量和一個變動的量是無法取其中最大值的。

6. 所以，修正這個錯誤的核心在于如何穩(wěn)定下來N"的同時穩(wěn)定下來N'。

修正如下：

綜合4、5——

對于任意m>N"，存在N'，使得n>N'時，x>=xn>=xN'>=am；

對于任意小數(shù)ε>0，存在自然數(shù)N"，當m>N"時，x-ε/2<am<x+ε/2；

綜上，對于任意小數(shù)ε>0，存在N'，使得n>N'時，x+ε/2>x>=xn>xN'>=am>x-ε/2，即|xn-x|<ε，即x為數(shù)列{xn}的極限，證畢。? ? ? ?