一年一度的雙十一盛宴又來了。我在之前的11.11時，曾經講過價格歧視——為什么優(yōu)惠活動設計的和奧數題一般復雜。沒看過的同學可以點擊這里。

今年的雙十一，又出現了“尾款”模式，首先付20元，雙十一當天再付尾款。如果違約不買，那這20元就沒有了，實際上類似于商品期權?；诱媸窃絹碓蕉嗔恕?/p>

在眾多優(yōu)惠中，有一個比較簡單的活動：招商銀行信用卡加雞腿。用戶需要綁定招商銀行信用卡，在10月20日到11月30日這段時間，無論是用微信、支付寶還是銀行卡直接付款，也無論是網購還是出行用餐，單筆滿18元就能抽紅包加雞腿，最多可以抽100次，有小朋友想問：超級大獎他不敢指望，小錢他又看不上，正常情況下最多能從活動中獲得多大的雞腿，有沒有辦法估計呢？

為了做個測試，我也參加了這個活動，這兩天抽了幾次雞腿，運氣還不錯，分別抽到了0.8元，1元和2元，我們能夠通過這三次抽出的雞腿大小來估計雞腿的最大值嗎？在數學上，就是根據樣本最大值，來估計總體最大值，這是一個非常經典的問題。今天我們就來討論一下。雖然這個問題的推導有一些復雜，但是結果卻非常簡單。學會了這個方法，你會感受到數學的巨大威力。

這種方法的第一次應用是在第二次世界大戰(zhàn)中，盟軍用于估計德國的坦克數量，所以也叫做：德國坦克問題。

在第二次世界大戰(zhàn)中，盟軍需要知道德國每個月能夠生產多少量坦克，他們有兩種方法：

第一是依靠情報部門，安插間諜混入德國的兵工廠或者作戰(zhàn)指揮機構，調查坦克的數量。第二是根據繳獲或者摧毀的坦克編號來估計坦克的數量。繳獲和摧毀的坦克，變速箱、底盤、車輪都有編號，而且這些編號被認為是連續(xù)的。而且，每次作戰(zhàn)俘獲或者摧毀的坦克是隨機的。數學家們就根據獲得的坦克編號，通過一種非常神奇的方式，估計坦克的總數量。

結果呢，兩個渠道獲得的估計相差很大。情報部門通過情報估計，德國在1940年6月到1942年9月之間，每個月大約能生產1400輛坦克?？墒菙祵W家們計算出來的數字大約是每個月246輛。

戰(zhàn)后根據解密的德國數據，每個月生產了245輛，與數學家們估計的非常接近。有時候，通過數學進行估算，比出色的間諜更厲害。

數學家們是怎么做到的呢？為了了解這個過程，我們需要一點數學基礎，那就是我們中學學習過的組合數。

如果有n個不同的物體，從中選出m個物體來，有多少種方法呢？這就稱為組合數，寫作c(n,m)。

例如從4個人ABCD中選2個人，可以是AB、AC、AD、BC、BD、CD共6種，寫作c(4,2)=6種。同樣，我們用數數的方法可以知道：從5個人中選擇3個，方法數就是c(5,3)=10種。

組合數可以從楊輝三角上直接看出，第n+1行第m+1個數字，就是c(n,m)。

在繼續(xù)研究之前，我們還需要復習一下組合數的幾個性質。

現在，我們要通過以上的性質來做一個題了，這個題是許多年前的高考題，我講數學的時候還曾經講過，化簡：

思考1秒鐘…

思考2秒鐘…

思考3秒鐘…

……

解：

怎么樣？和你想的一樣嗎？

現在我們可以繼續(xù)思考：如何從我們俘獲的德軍坦克編號，估計出總體坦克的最大編號。比如，盟軍俘獲了k輛坦克，其中最大編號是m，如何估計坦克總數量N？這需要我們做出幾點假設：

1. 德國的坦克編號是連續(xù)的，并且從1到N；

2. 每個坦克的編號是唯一的；

3. 盟軍俘獲的坦克是隨機；

4. 同一輛坦克最多只會被俘獲一次。

如果用專業(yè)術語，這叫做用不放回抽樣來估計離散型均勻分布最大值問題。我們需要將這個問題倒過來：如果已經知道了總坦克數量N，繳獲k輛坦克，繳獲的最大編號最有可能是多少？

1.?坦克共有N輛，從中隨機俘獲k輛 ，方法數是c(N,k)

2.?如果被俘獲的坦克最大編號是M，則其余的k-1輛坦克的編號都小于M，這樣的方法數是c(M-1,k-1)

3. 用二者作比，就可以得到俘獲坦克中最大編號是M的概率

4. 被俘虜的k輛坦克的最大編號M的可能取值是k，k+1，k+2，…，N，每一種取值都對應了剛才所說的概率，如果用每一個編號乘以相應概率，再把它們求和，就能得到最大編號M的數學期望

利用公式（4）可以變形

把它們展開：

根據公式（5）可以化簡：

最后用公式（3）得到結果：

最大編號M的數學期望，就是最大編號的平均值。

5. 現在我們俘獲的坦克的最大編號是m，我們認為它最有可能等于M的數學期望。

于是就能夠計算出全體最大編號的可能值：

我們利用這個公式就能估計坦克最大編號了，這是一種最有可能的情況，例如：

俘獲了1輛坦克，編號是50，那么m=50，k=1，根據估計最大編號99；

俘獲了2輛坦克，編號50，23，那么m=50，k=2，估計最大編號74；

……

生活中許多問題都類似于德國坦克問題，比如一個班級里學生的學號，書籍的頁碼等等。如果我們在班級隨便找?guī)讉€學生讓他們說出自己的學號，或者找到了一本書種掉落的幾頁紙，都可以通過上面的公式來估計這個班級的總人數或者這本書的總頁數。

說回到招商銀行信用卡加雞腿問題：通過抽樣，我們可以得到幾個雞腿樣本，再通過樣本估計雞腿最大值的大小。不過，我們首先必須做出假設：招商銀行信用卡每次給出的雞腿都是從獎池里隨機抽取的，而且每一種金額的雞腿出現的概率相等，這樣才能使用德國坦克問題的公式。

比如：第一次參加雞腿活動，刷了18元，獲得了一個0.8元的雞腿。樣本最大值m=80分，樣本個數k=1，于是估計雞腿最大值：

當我刷了第二個18元，又獲得了一個1元的雞腿，那么樣本最大值為m=100分，次數k=2，于是估計雞腿最大值：

繼續(xù)刷第三個18元，又獲得了一個2元的雞腿，此時最大值為m=200分，次數k=3，于是估計雞腿最大值：

隨著我們樣本越來越多，就能越來越準確的估計出雞腿最大值的大小了。

剛才我們的計算是基于雞腿大小是從0分到N分的一個均勻分布的模型上，實際上，招行信用卡加雞腿的活動最小雞腿是0.16元，最大雞腿是11111元，沒有人知道招行信用卡具體是使用了什么樣的模型給大家分配紅包的，所以我們的計算更多的是一種數學游戲，不一定滿足招行活動實際情況。跪求不杠，你杠你對。

根據調查公司的數據，2019年居民生活月生活開銷4800多元中，有61%都是第三方支付比如微信和支付寶，還有23%是銀行卡和信用卡支付?，F金支付只有14%。

根據工信部的數據，2019年中國移動支付用戶大約10億，每年利用第三方移動支付總金額大約200萬億元，交易總筆數1.22萬億。移動支付越來越深入的走入了我們的生活。