總結(jié)：

1.為了定義自然數(shù)加法的逆運(yùn)算，即減法，我們需要擴(kuò)大數(shù)集使包含減法運(yùn)算。

2.我們用有序自然數(shù)對定義整數(shù)，構(gòu)造好等價(jià)關(guān)系“~”后（構(gòu)造方法見筆記），用一個等價(jià)類來定義一個整數(shù)。

自然數(shù)集的笛卡爾積之于等價(jià)關(guān)系“~”的商集即為整數(shù)集。

3.定義完整數(shù)后，可定義整數(shù)的運(yùn)算（加法、乘法）。

整數(shù)集中的減法定義為加負(fù)元（這條見講義）。

4.自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集。其證明時用到了同構(gòu)的思想。即兩個集合之間存在雙射，且能保持其中的運(yùn)算，這樣兩個集合在代數(shù)結(jié)構(gòu)上可等同看待。