沖擊函數(shù)的由來：

沖擊函數(shù)的定義：

并得到?jīng)_擊函數(shù)和階躍函數(shù)的關(guān)系：

沖擊函數(shù)的抽樣性質(zhì)：

對應(yīng)沖擊函數(shù)來說，最重要的就是這個抽樣性質(zhì)，正是通過這個性質(zhì)，我們才能把一個時域連續(xù)的信號轉(zhuǎn)變成時域離散的信號。

再看沖擊函數(shù)的頻域特性：

這表明，當(dāng)時域是沖擊函數(shù)時，頻域是1。因此：

上圖是求逆變換得出的重要公式。

如果假設(shè)時域信號是1，則：

由此得到下圖：

再考慮沖擊抽樣函數(shù)：

我們看到，周期沖擊抽樣函數(shù)的頻譜也是一個沖擊序列，這個特點使得被抽樣的信號在頻域出現(xiàn)了所謂的周期延拓現(xiàn)象：

正是函數(shù)的抽樣過程，導(dǎo)致了卷積積分的出現(xiàn)。由于

因此也使得我們可以通過這種信號抽樣的方法對系統(tǒng)的頻域特性進(jìn)行分析。

這種卷積又可以過渡到離散信號：

注意圖1中的函數(shù)

它其實表示的是一個時域連續(xù)的信號，只是在某些時間點上才有固定值；而圖2中的

則是一個離散信號的概念，因為k只能取整數(shù)。然后由這個抽樣脈沖函數(shù)得到：

再考慮沖擊響應(yīng)的問題:

由上圖我們看到，當(dāng)激勵信號是一個沖擊信號的時候，其響應(yīng)uc(t)就稱為沖擊響應(yīng)。由于圖1中表示，任意信號可以通過抽樣過程變?yōu)橐粋€時域卷積函數(shù)：

上圖中的f(nT)僅僅代表不同時刻抽樣函數(shù)的強度不同，因此，當(dāng)激勵信號為任意函數(shù)時，都可以看作是不同時刻不同強度的沖擊函數(shù)激勵之和。由此又引出了系統(tǒng)函數(shù)或者頻率響應(yīng)函數(shù)H(s)和H(jw)的概念：

通過上面分析，幾乎可以認(rèn)為，信號處理的整個理論基礎(chǔ)，都是建立在沖擊函數(shù)的基礎(chǔ)之上的，正是沖擊函數(shù)的抽樣能力導(dǎo)致了這種情況的產(chǎn)生。

可以對沖擊函數(shù)大概總結(jié)一下：

1：沖擊函數(shù)最重要的性質(zhì)就是抽樣性質(zhì)。

2：由于沖擊函數(shù)的抽樣性質(zhì)，導(dǎo)致了時域信號離散化方法理論上得以實現(xiàn)。

3：通過沖擊函數(shù)的抽樣，得以對時域連續(xù)信號離散化，這個過程導(dǎo)致了卷積概念的產(chǎn)生。

4：由于信號離散化的時域卷積特點，又使得我們可以對系統(tǒng)函數(shù)或者頻率響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行分析。