27.微分

一、微分概念與定義

1.微分的概念

2.微分的定義

可微（線性主部）：AΔx→記作dy

Δy=AΔx＋o（Δx）

d：differentia（德語）

3.Δy與dy不同（Δy實際變化量，dy近似變化量）

Δy≈dy 誤差：o（Δx）

4.可微與可導(dǎo)的關(guān)系

dy=f′(x)Δx （充分必要條件）

dy/Δx=f′(x) Δx=dx

5.證明可微可導(dǎo)，互相轉(zhuǎn)化

微積分與導(dǎo)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合更方便

6.導(dǎo)數(shù)：微分之商：微商（可拆成除法）

7.可微、可導(dǎo)、連續(xù)、有極限之間關(guān)系

分析：可微→←可導(dǎo)

可微→可導(dǎo)→連續(xù)→有極限

二、微分的幾何意義

1.幾何意義（之一）

f′=tan （該點導(dǎo)數(shù)等于該點切線斜率）

dy=QP

dy=切線函數(shù)的增量

2.局部線性化（切線方程）

局部用切線代替曲線→想到泰勒公式→確定函數(shù)

三、微分公式與運算法則

公式：dy=f′(x)dx

微分為導(dǎo)數(shù)與dx的乘積（導(dǎo)數(shù)與微分，在某種程度上互為逆運算）

(△)′ = f′(x) → d(△)＝f′(x)dx

∴已知導(dǎo)數(shù)，可求得原函數(shù)

已知f′(x)dx，可求d(△)，進而了解△原函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)的微分：微分形式不變性

g(x)＝u

從外層向內(nèi)層逐層微分，直到dx出現(xiàn)

例：

例隱函數(shù)求微分：

1.取對數(shù)

2.兩邊同時直接求微分

總結(jié)：微分法求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)，是一種好方法。求微分時，不必考慮自變量是誰，因變量是誰，x、y地位平等。而求導(dǎo)數(shù)時，x為自變量，y為因變量，x、y地位不平等。

課內(nèi)練習(xí)：

df(xy)與d(xy)不同：

df(xy)＝f'(xy)d(xy)→微分表達式

d(xy)＝(ydx＋xdy)→微分運算

先求微分，再求導(dǎo)數(shù)，也很方便

湊微分：不要忽視系數(shù)，系數(shù)很重要

考研題：

常用：(△)的x次方=e的xln(△)

(△)x = e xln(△) lne＝1→e1=e

逐層微分&直接微分

需再看

四、微分在近似計算中的應(yīng)用

1.函數(shù)增量的近似公式

Δy=f(x0＋Δx)-f(x0)

Δy=AΔx＋o（Δx）

Δy≈f′(x0)Δx

2.函數(shù)值的近似計算公式

0處：局部用切線代替曲線，局部線性化

例子：近似某點的值，局部線性化很方便。如推導(dǎo)等價無窮?。ㄓ悬c像泰勒），加減很方便。

幾何表示：（0附近的圖像，局部線性化）

例子證明題：（x＝0處，局部線性化，證明很小或者小于，還是挺方便的）

強大的近似計算：（任何近似都方便了）

28微分中值定理（1）

一、羅爾定理

費馬引理：

f(x0)處可導(dǎo)，取得極值→f′(x0)=0（切線水平）

證明：（極限的局部保號性）

費馬猜想：↓