【問題】一對(duì)夫妻有兩個(gè)孩子（為了嚴(yán)格起見，加上條件：非雙胞胎），其中一人為女性，生于2000年1月1日00:00瞬間；求另一人為女性的概率。

這是個(gè)經(jīng)典爭(zhēng)議題的變種。答案還是比較反直觀的。Formal的寫法是這樣的：

注釋如下。為了避免歧義，首先界定(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})，之后什么都好說。

g表示性別（離散變量），t表示出生時(shí)刻（連續(xù)變量），由此構(gòu)成的向量(g_1,t_1,g_2,t_2)構(gòu)成了樣本空間。

測(cè)度是這樣的：因?yàn)椴皇请p胞胎，可以認(rèn)為兩人性別是獨(dú)立的，男女分別為1/2；出生時(shí)間與男女一般也是獨(dú)立的吧；但是兩人出生時(shí)間不是獨(dú)立的（在正負(fù)十月里面肯定是零概率），這個(gè)聯(lián)合分布記為\pi(t_1,t_2)。我們不知道這個(gè)\pi到底是怎樣的。

這樣概率空間就說清楚了。然后套一下條件概率公式，發(fā)現(xiàn)結(jié)果中的\pi剛好消掉，答案就是0.5。

【Remark1】題目在文字上有一個(gè)歧義。“其中一人為女性”，如果理解為“A為女性”，或者“存在一人為女性”，在數(shù)學(xué)上不一樣。上面的解答理解為第二種。

【Remark2】如果去掉時(shí)間因素，「已知一人為女性，另一人也是女性的概率為？」這時(shí)候答案為1/3，這是一道很經(jīng)典的爭(zhēng)議題。爭(zhēng)議點(diǎn)在于remark1?，F(xiàn)在排除了這個(gè)歧義，答案就很清楚是1/3。

【Remark3】但是奇怪的是，如果考慮進(jìn)時(shí)間因素（也就是這道題這個(gè)變種），概率卻又從1/3變成了1/2，而且是嚴(yán)格的1/2而不是依賴于時(shí)間分布的近似的1/2。這里面到底發(fā)生了什么，我也還沒想清楚。

【Remark4】另一個(gè)變種是：「已知一人為女性且出生在周一，另一人也是女性的概率為？」答案也偏離了1/3，變成13/27，但是也不是1/2。這說明離散和連續(xù)的時(shí)間也是有區(qū)別的。這里面又發(fā)生了什么？我也不知道。

【Remark5】有一個(gè)說法是，信息越多（無限定->出生在周一->出生在2000年1月1日00:00，相當(dāng)于一個(gè)向后的sigma代數(shù)流），條件概率越接近1/2。這點(diǎn)在數(shù)學(xué)上可以證明嗎？之后可以再研究一下。

【Remark6】還可以做一些別的變種，比如考慮身高（連續(xù)），班級(jí)（離散）等等。

題圖【fishman】pid80075502 by HJL。