定積分的應(yīng)用

1、普通的函數(shù)面積，可以通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖像在規(guī)定范圍內(nèi)計(jì)算定積分，然后相加（或相減）就可以了，具體看圖。

注意有x、y類(lèi)型的區(qū)別，若是y類(lèi)型，則為函數(shù)的反函數(shù)形式，然后再定積分計(jì)算。

2、旋轉(zhuǎn)類(lèi)型

x旋轉(zhuǎn)：

y旋轉(zhuǎn)

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多元函數(shù)的微積分

二元函數(shù)的圖像

二元函數(shù)的極限

二元函數(shù)的連續(xù)性，和一元函數(shù)區(qū)別不大，主要三點(diǎn)：

二元函數(shù)的間斷不考（好耶！?。。?/p>

其他性質(zhì)和一元一樣。

主要是掌握二元函數(shù)的定義域，出選擇&填空

偏導(dǎo)數(shù)

二元函數(shù)有兩個(gè)未知數(shù)，一般求導(dǎo)只對(duì)一個(gè)未知數(shù)求導(dǎo)，那有兩個(gè)怎么辦呢，這就是偏導(dǎo)，這個(gè)概念很像一元函數(shù)的隱函數(shù)求導(dǎo)

二階偏導(dǎo)

全微分：就是求出函數(shù)的x、y的一階偏導(dǎo)數(shù)，乘上dx、dy，在相加就是全微分了

二元函數(shù)的一些性質(zhì)：一元函數(shù)，可導(dǎo)一定連續(xù)且極限存在，而連續(xù)不能推出可導(dǎo)；在二元中則不相同，可導(dǎo)（偏導(dǎo)數(shù)）不能推出連續(xù)

還有，兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)是相等的

多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

多元復(fù)合函數(shù)就是有中間變量的多元函數(shù)，如圖

原理和一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)差不多，先算外層函數(shù)再算內(nèi)部函數(shù)；由于這種計(jì)算過(guò)于復(fù)雜難口算，建議畫(huà)個(gè)關(guān)系圖再計(jì)算（如下圖）

多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的不同情況

這種方式被稱(chēng)為鏈?zhǔn)椒▌t，當(dāng)然也可以直接將中間變量所指向的函數(shù)帶進(jìn)原函數(shù)，直接求出偏導(dǎo)數(shù)。

多元函數(shù)的隱函數(shù)求偏導(dǎo)

什么是隱函數(shù)

如果y是x一個(gè)變量的函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)可以直接求

或者使用公式，公式和一元函數(shù)的一樣，不過(guò)要先求出x、y的偏導(dǎo)數(shù)

多元函數(shù)的抽象函數(shù)

多元函數(shù)的極值

極值存在的必要條件

多元函數(shù)的極大值、極小值計(jì)算

多元函數(shù)的條件極值

注：最后的解未知數(shù)的值，每道題都不一樣，得積累。不過(guò)總是和條件函數(shù)有關(guān)，要多想。

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二重積分

一重積分（定積分）是求曲線的面積；二重積分是用來(lái)求體積積，原理和定積分一樣：

性質(zhì)：

二重積分比大小

函數(shù)比較大小，最好畫(huà)圖

二重積分計(jì)算方法——直角坐標(biāo)系

交換積分次序

因?yàn)闀?huì)出現(xiàn)積分按方程順序積不出來(lái)的情況，所以用到這部分知識(shí)就是換類(lèi)型，積不出來(lái)的被稱(chēng)為超越積分，?？嫉娜纾?/p>

比如遇到X型積不出來(lái)，可以換成Y型來(lái)做，題都是人出的，不可能出現(xiàn)兩個(gè)方法都積不出來(lái)的情況。

二重積分的對(duì)稱(chēng)性

二重積分計(jì)算方法——極坐標(biāo)系

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換

當(dāng)圖像是圓or圓弧相關(guān)時(shí)，用極坐標(biāo)：

圓的方程：

因?yàn)橹笠徊糠值膬?nèi)容我的省不考就不看了

(＠_＠;)

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線性代數(shù)

行列式

行列式的定義

二階行列式

n階行列式的常識(shí)定義，這個(gè)有點(diǎn)像編程中常見(jiàn)的數(shù)組，它是個(gè)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)用的框架（ps：這里應(yīng)該是矩陣，行列式是矩陣的屬性之一）。

注：上文中：“0都可為空值為錯(cuò)誤，最好直接寫(xiě)上”。

5、行列式的符號(hào)為“| |”，矩陣的符號(hào)為“[ ]”，大括號(hào)是不用的。

6、任何一個(gè)行列式經(jīng)過(guò)計(jì)算后都是一個(gè)數(shù)。

三階行列式

三階行列式的計(jì)算方式為3正、3負(fù)，如下

排序與逆序數(shù)

N(排列)=逆序數(shù)

行列式行性質(zhì)

每行只能取一個(gè)數(shù)，且數(shù)的列數(shù)與其他行不相同。

若行列式的某一行（某一列）都為0，則結(jié)果為0

行列式列性質(zhì)

每列只能取一個(gè)數(shù)，且數(shù)的行數(shù)與其他列不相同。

若行列式的某一行（某一列）都為0，則結(jié)果為0

上三角形行列式

下三角形行列式

上、下三角形行列式總結(jié)

行列式的性質(zhì)

轉(zhuǎn)置行列式

轉(zhuǎn)置：將所有行與列的元素互換位置

轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置，即變成原_行列式

行列式被轉(zhuǎn)置后，結(jié)果不變。

所有關(guān)于行列式行的相關(guān)性質(zhì)，列也同樣具有

行列式基本性質(zhì)

1、行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。

2、當(dāng)行列式交換行、列時(shí)，需要變號(hào)，如下

3、兩行、列相等時(shí)，行列式結(jié)果為0。

4、某一行、列有公因子k，k往外提一次

5、某兩行、列對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，行列式結(jié)果為0

6、某一行、列是兩個(gè)數(shù)的和時(shí)，此行列式為兩個(gè)數(shù)的行列式之和，其他行、列不變

7、某一行、列乘以一個(gè)數(shù)的結(jié)果，加到另一行、列上去，行列式結(jié)果不變。

純數(shù)字的行列式通過(guò)性質(zhì)7變成上角形行列式，方法為先處理第一列，之后按順序處理。

行列式的計(jì)算

純數(shù)字類(lèi)型的，如下，通過(guò)性質(zhì)7轉(zhuǎn)化成上角形行列式再計(jì)算結(jié)果。

技巧：先將第一列后n-1個(gè)元素轉(zhuǎn)化為0，再將第二列后n-1個(gè)元素轉(zhuǎn)化為0，以此類(lèi)推。

非純數(shù)字類(lèi)型的，如下，

技巧：將每行的第一個(gè)元素變?yōu)?，每行所有元素之和，被稱(chēng)為制造行和，每個(gè)行和都是相同的，即可以用性質(zhì)4提出去，原行和變?yōu)?，再乘-a（a為字母）加到每行除行和的每個(gè)元素上，得到上三角形行列式，此時(shí)還要記得乘上之前被提出來(lái)的行和

數(shù)字與字母混合類(lèi)型的行列式

余子式

選中一個(gè)元素，將包含此元素的行和列從行列式中去除，得到的行列式稱(chēng)為此元素的余子式

代數(shù)余子式

在余子式的基礎(chǔ)上加了符號(hào)，且符號(hào)的次數(shù)由行列數(shù)之和的奇偶性決定

行列式按某行、列展開(kāi)定理

行、列元素與其他行、列代數(shù)余子式乘積之和為0

選擇0最多的行、列展開(kāi)，計(jì)算量少點(diǎn)

常見(jiàn)的行列式形式

爪型

拉普拉斯定理

范德蒙德行列式

克萊姆法則

萊姆法則是用行列式解決系數(shù)多項(xiàng)式

齊次線性方程組

矩陣

可以當(dāng)做行、列數(shù)可不同的行列式

概念

兩個(gè)矩陣A、B，A*B與B*A的結(jié)果是不同的

矩陣的加減乘

矩陣的冪

只有方陣才有冪

矩陣有很多屬性，由方陣轉(zhuǎn)成的行列式，是矩陣諸多屬性之一。矩陣必須是方陣才能當(dāng)做行列式。

伴隨矩陣

只有方陣才有伴隨矩陣，按行算出每個(gè)元素的代數(shù)余子式之后，按列排放，就是伴隨矩陣

按行求，按列排

性質(zhì)

逆矩陣

逆矩陣解法一：伴隨矩陣法

例題

逆矩陣解法二：初等行變換法

例題

初等行變換法判斷矩陣是否可逆

若右邊不能變化為E單位陣，即不可逆，如下

性質(zhì)

關(guān)于方陣是否可逆的推論

初等行、列變換

任意形狀的矩陣都能變換，分3種、列變換的邏輯和行一致

通過(guò)初等行、列變換，可以將一個(gè)矩陣變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型，即主對(duì)角線的元素1、0是連續(xù)的，不能互相穿插，并且1在開(kāi)頭，單獨(dú)只有其中一個(gè)元素也是標(biāo)準(zhǔn)型

注：標(biāo)準(zhǔn)型不一定是方陣，上分說(shuō)的主對(duì)角線是方便理解，此形狀也是標(biāo)準(zhǔn)型

初等矩陣

由單位陣E經(jīng)過(guò)一次初等行、列變換得到的矩陣，注：?jiǎn)挝魂囈欢ㄊ欠疥嚕猿醯染仃囈欢ㄊ欠疥嚒?/p>

性質(zhì)

初等矩陣與初等行、列變換的關(guān)系

初等矩陣必須是方陣，形狀大小要遵守矩陣的乘法規(guī)則，并且要先經(jīng)過(guò)與初等矩陣一樣的初等行、列變換如下

矩陣的等價(jià)

經(jīng)過(guò)初等變換后得到的矩陣即，兩矩陣等價(jià)

定理

矩陣的秩

子式

秩

注

定義與計(jì)算方法