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難度：SL（只考慮角度變化），HL（考慮速度/動能的變化）

涉及：三角函數、angle identity、微分

熟悉臺球的同學都知道，在臺球中，我們不單單要考慮目標球是否進洞，白球的走位也是很重要的。但相較于目標球，白球在碰撞后的走位似乎并不直觀。（不考慮球旋轉）

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1、建立坐標系

根據圖二可以看到，我們可以吧臺球的走位分為碰撞前和碰撞后，并給每個球的質量、球速賦予一個變量。其中，我們未知的量就是白球碰撞后所改變的角度（alpha）以及其速度

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2、求出白球的偏轉角alpha的一般公式

根據物理定律，兩球在碰撞前后的總能量和動能（質量乘速度）不變。這樣我們可以通過向量的加法（圖三），并通過大量的合/倍角公式和化簡，我們最終可以求出白球偏轉角的方程。我們發(fā)現這與兩個球的質量之比有關，畫圖分析（圖四）后你會發(fā)現一些很有趣的現象，例如如果白球質量足夠大，白球的偏轉角微乎其微。也就是直接碾過去了！

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3、兩球質量相等的情況

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當帶入兩球的質量一樣后，稍微化簡一下，你會發(fā)現一個驚訝的事情——白球和目標球在碰撞后總是互相垂直的走出去（除非正碰）！這是一個非常有意思的結論，我們可以做實驗去驗證一下這個結論～

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4、兩球質量不一樣的情況

兩球質量不一，白球的偏轉會有什么變化？你會發(fā)現若白球質量大于目標球，那么白球偏轉角有個極限值，求導來得出極限值是如何隨著質量變化而變化的，特別有趣。你還可以考慮一些極限條件，你能解釋很多有趣的現象：如薄球、回彈球等

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5、計算白球的碰撞后動能的損失（也就是速度）

我們可以根據動能，結合之前計算的內容，通過大量的化簡和angle identity，得出白球在碰撞后減速了百分之幾！不僅如此，你會發(fā)現你能夠解釋為什么有時候白球在撞擊后直接“定住了”。

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- IB45分滿分學長，專注數學、物理、TOK、計算機的輔導