此條專欄是對(duì)上一條專欄內(nèi)容的補(bǔ)充，主要是相關(guān)點(diǎn)法的一些應(yīng)用

ps:此專欄部分內(nèi)容會(huì)將初中、高中、大學(xué)的知識(shí)結(jié)合一起論述，網(wǎng)友們可視自身情況選讀

此次主要是以瓜豆原理為例展開(kāi)論述

所謂瓜豆原理其字面意思就是“種瓜得瓜種豆得豆”，其體現(xiàn)在如下的一個(gè)模型中

如圖，A為定點(diǎn)，BC為動(dòng)點(diǎn)，且滿足：

1、AB與AC長(zhǎng)度之比為定值

2、AB與AC夾角為定角θ,θ∈[0,180°]

則B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡與C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡形狀相同（即全等或相似）

下面用變換的觀點(diǎn)來(lái)分析

由點(diǎn)B變換至點(diǎn)C，可先按比例關(guān)于A點(diǎn)位似，使得

再將繞A旋轉(zhuǎn)θ角度

（或者先旋轉(zhuǎn)再位似，原理是相同的）

若B在一曲線上運(yùn)動(dòng)，則對(duì)曲線上的所有點(diǎn)作這一變換可得C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡

其中位似相當(dāng)于繞著一點(diǎn)（即位似中心）“放大或縮小”，因此不會(huì)改變圖形的形狀；旋轉(zhuǎn)前后圖形大小和形狀不變。綜上，變換前后形狀不變（全等或相似，相似比等于位似變換中的位似比）

以上我們從變換的性質(zhì)入手簡(jiǎn)單說(shuō)明了“瓜豆原理”，下面拿一題來(lái)實(shí)踐

如圖，點(diǎn)P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點(diǎn)M是圓P上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C是MB的中點(diǎn),則AC的最小值為_(kāi)____

C為MB中點(diǎn)，可視為M關(guān)于B點(diǎn)作位似變換，位似比為，由于M在圓P上，故對(duì)圓P作該位似變換即得點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡

根據(jù)瓜豆原理，那么C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓，可由圓P圖像關(guān)于點(diǎn)B“縮小”得到

記軌跡圓心為，則，根據(jù)比例計(jì)算得：

則點(diǎn)C在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)

此時(shí)就是“圓外一點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)最值”的問(wèn)題，距離

拓展到高中，則可讓求C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，此時(shí)即用相關(guān)點(diǎn)法求之

M點(diǎn)軌跡方程：

設(shè)

∵C為MB中點(diǎn)

∴解得：

∵M(jìn)在圓上

∴

∴

整理得：

∴C點(diǎn)軌跡方程為：

上述是用代數(shù)意義求解，下面用幾何意義加深對(duì)相關(guān)點(diǎn)法的理解

“取MB中點(diǎn)為C”即點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)B作位似變換，其中位似比為

對(duì)圓作該位似變換即可得到圓

那么圓上的點(diǎn)滿足約束條件：關(guān)于點(diǎn)B作位似比為的位似變換(即上述變換的逆變換)后落在圓上

設(shè),則

將模長(zhǎng)伸長(zhǎng)2倍后得:

∵

∴

∵M(jìn)在圓上

∴

即

對(duì)于一曲線作一變換，則用相關(guān)點(diǎn)法求變換后曲線方程。其中幾何意義萬(wàn)變不離其宗，總體現(xiàn)著逆向思維，即變換后曲線上的點(diǎn)滿足約束條件：作逆變換后點(diǎn)落在原來(lái)變換前的曲線上！

細(xì)品這句話，因?yàn)檫@是相關(guān)點(diǎn)法的本質(zhì)和精妙之處。

下面再來(lái)看一道題

ps:此題選自一道中考真題,方法很多，下面主要用“瓜豆模型”來(lái)解題

，滿足所講的“瓜豆模型”

故C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是一條直線，結(jié)合已知需求出該直線方程代入縱坐標(biāo)3即可解得橫坐標(biāo)m

該直線可由y=0(x軸所在直線)繞點(diǎn)A(0,2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到

由于用變換的知識(shí)求該直線在初中較難理解，所以下面先用初中的方法解此題：上文定性分析這是一條直線后，只需找兩個(gè)特殊點(diǎn)即可求得直線方程

由60°且兩邊相等容易想到等邊三角形，于是找到如下兩個(gè)特殊點(diǎn)：

此時(shí)BC//y軸，

此時(shí)AC//x軸，

設(shè)直線方程為y=kx+b

將上面求得的兩個(gè)C點(diǎn)代入得：

解得：

∴C點(diǎn)所在直線方程為：

將(m,3)代入解得：

故選C

以上是初中方法，下面用變換的方法（相關(guān)點(diǎn)法）求直線方程

由B到C所作變換為：繞點(diǎn)A(0,2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°

而B(niǎo)在x軸(y=0)上，故將直線y=0繞(0,2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得C點(diǎn)所在軌跡

那么C點(diǎn)軌跡上的點(diǎn)滿足約束條件：繞點(diǎn)A(0,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°(作逆變換)后落在直線y=0上

其中變換"繞點(diǎn)(0,2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°"可分解為平移變換和線性變換：先向下平移2個(gè)單位(使旋轉(zhuǎn)中心平移至原點(diǎn))，再繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，最后向上平移2個(gè)單位

設(shè)C(x,y)

1、向下平移2個(gè)單位得：(x,y-2)

與原點(diǎn)連接并以原點(diǎn)為起點(diǎn)構(gòu)成向量：

2、繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得：

得：點(diǎn)

∵該點(diǎn)在直線y=0上

∴

即直線

使用相關(guān)點(diǎn)法求解作變換后的曲線方程問(wèn)題時(shí)，我們總能體會(huì)到萬(wàn)變不離其宗的逆向思維：

變換后的曲線方程上的點(diǎn)滿足約束條件：作逆變換后，點(diǎn)落在變換前的原曲線上

這句話一定要細(xì)品，因?yàn)檫@是相關(guān)點(diǎn)法的本質(zhì)和精髓之處

最后，在此將相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，我們便會(huì)發(fā)掘出數(shù)學(xué)中無(wú)窮無(wú)盡的奧妙！

在前文提到，瓜豆模型中有如下特征：A定BC動(dòng)，AB與AC長(zhǎng)度之比恒定，且兩邊夾角恒定

兩動(dòng)點(diǎn)軌跡形狀相同（全等或相似）

分析過(guò)程中也得到如下論述：

其中一動(dòng)點(diǎn)B可通過(guò)"先位似變換再旋轉(zhuǎn)變換"or"先旋轉(zhuǎn)變換再位似變換"得到另一動(dòng)點(diǎn)C

將其放入直角坐標(biāo)系中，若位似中心A為原點(diǎn)，則此變換為一線性變換

這個(gè)線性變換由一位似變換和一旋轉(zhuǎn)變換復(fù)合而成

例：若，由B到C旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針

則該變換可用矩陣描述為：

用以基底為單位的“方格子”圖將該變換可視化如下：

此變換便可通俗地理解為“圖片的縮放和旋轉(zhuǎn)”