中心極限定理告訴你為何萬千分布獨(dú)愛正態(tài)分布一個(gè)

通過前面幾篇關(guān)于正態(tài)分布基礎(chǔ)知識(shí)的鋪墊，本篇解讀中心極限定理，圖示原本服從均勻分布的隨機(jī)變量均值以及隨機(jī)變量之和如何近似服從正態(tài)分布。

準(zhǔn)備考綠帶、黑帶的朋友注意了：中心極限定理是必考題，尤其是作為綠帶的計(jì)算題，掌握了就是送分題。

中心極限定理

小王說：我超愛抄書。翻開第三版《六西格瑪管理》第158頁，定理2（中心極限定理）：
設(shè)X1，X2，...，Xn是n個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，分布均值為μ，方差為σ2，則當(dāng)n較大時(shí)，有

當(dāng)X的分布對(duì)稱時(shí)，只要n≥5，近似效果就比較理想；當(dāng)Xi的分布不對(duì)稱時(shí)，要求n值較大，一般n≥30時(shí)近似效果較理想。
這個(gè)定理表明：無論隨機(jī)變量服從何種分布，可能是離散分布，也可能是連續(xù)分布，連續(xù)分布可能是正態(tài)分布，也可能是非正態(tài)分布，只要獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)n較大，那么，隨機(jī)變量之和的分布、隨機(jī)變量均值X的分布都可近似為正態(tài)分布。

小王說：抄書完畢。依舊來燒腦畫圖理解書上的內(nèi)容尤其是藍(lán)字部分，再告訴準(zhǔn)備參加中質(zhì)協(xié)綠帶、黑帶考試的朋友，一般考中心極限定理的題目怎么考。

X1，X2，...，Xn是n個(gè)獨(dú)立同分布就不用再說了，在《趣說正態(tài)分布2》和《趣說正態(tài)分布3》都提到過，下圖圖示就是獨(dú)立同分布的形態(tài)。

舉個(gè)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的例子吧，投骰子:

一個(gè)均勻的骰子投擲6000次，6個(gè)面出現(xiàn)的概率基本一致，理想的分布是1，2，3，4，5，6點(diǎn)每個(gè)面出現(xiàn)約1000次，這是離散均勻分布，投擲次數(shù)一多，機(jī)會(huì)非常平均，如下圖，所以呀，均勻分布還有個(gè)昵稱叫矩形分布。

小潘：數(shù)學(xué)怎么還有昵稱呢，你編的吧？

小王：小潘，你在家的昵稱或者小名叫什么呀？

小潘笑嘻嘻的操起一副京腔：不告兒你，呵呵。

小王接著說：不告就不告。來了啊，變魔術(shù)的時(shí)刻到了。

這么四四方方一個(gè)圖，將兩次抽樣X1和X2進(jìn)行平均，得到的圖形應(yīng)該長(zhǎng)啥樣呢？如下圖。

上面是n=2的情況，前面藍(lán)字部分書上的內(nèi)容說了：可能是離散分布，也可能是非正態(tài)分布，只要獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)n較大，那么，隨機(jī)變量均值X的分布都可近似為正態(tài)分布。注意是近似哦，看作是。
我們將5次抽樣X1，X2，...X5進(jìn)行平均，得到的圖形應(yīng)該長(zhǎng)啥樣呢？如下圖。

將30次抽樣X1，X2，...X30進(jìn)行平均，得到的圖形應(yīng)該長(zhǎng)啥樣呢？如下圖。

圖形不是我們的重點(diǎn)，看到有一根紅色的概率密度曲線象正態(tài)分布的樣子能理解就可以了，重點(diǎn)是看看圖中紅圈圈圈著的標(biāo)準(zhǔn)差：當(dāng)n=2的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)差=1.207；當(dāng)n=5的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)差=0.7792；當(dāng)n=30的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)差=0.3118，均值μ=3.495、3.494及3.503，倒是變化不大。這怎么回事呢？

括號(hào)里面的均值μ沒變，方差變了。所以，無論n=2，n=5，還是n=30，均值μ確實(shí)基本相同。因?yàn)槭浅闃?，基本一致，不是完全分毫不差哦?br>我們用計(jì)算器來算幾個(gè)數(shù)字：
1、假設(shè)總體就是n=30，我們已知的標(biāo)準(zhǔn)差=0.3118，現(xiàn)在假設(shè)不知道這個(gè)總體標(biāo)準(zhǔn)差的值，用樣本來估算：

反過來:

2、假設(shè)已知總體n=30，標(biāo)準(zhǔn)差=0.3118，計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

①? 用n=2的樣本來估算總體，則：

?②? 用n=5的樣本來估算總體的，則：

3、n=2和n=5之間的換算略。

考友們注意了，考友們注意了。

考試一定會(huì)考標(biāo)準(zhǔn)差或方差的換算，也許是公式，也許是簡(jiǎn)單的數(shù)字計(jì)算，理解了就好，不會(huì)有上面的例子數(shù)據(jù)這么難算的。雖說可以帶計(jì)算器，畢竟考試時(shí)間有限，一般計(jì)算題會(huì)是一眼能算出來的數(shù)字，比如25、16、9、4、1的開平方，真出了計(jì)算起來很麻煩的題，可能會(huì)只考公式不會(huì)考計(jì)算結(jié)果。考題再怎么翻來覆去的也逃不過如來的五指山，兩個(gè)方向：不論考題說總體標(biāo)準(zhǔn)差知道，計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差；還是用樣本去估算總體。實(shí)質(zhì)概念不變，都是為了考對(duì)中心極限定理的理解。

重要事情再說一遍：

考試會(huì)比我們這個(gè)例子更簡(jiǎn)單，因?yàn)榭碱}只有2個(gè)方向：

① 一般會(huì)直接說樣本的方差或標(biāo)準(zhǔn)差（沒我們上面計(jì)算中的根號(hào)2或根號(hào)5什么事），推算總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；
② 已知總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算樣本的方差或標(biāo)準(zhǔn)差。

考友們注意了:

① 把n=幾看清楚；
② 把題目問的是方差還是標(biāo)準(zhǔn)差看清楚，區(qū)別只是要不要開根號(hào)而已，沒有難度。

理解了中心極限定理本尊，書上159頁再說什么標(biāo)準(zhǔn)誤，就沒有難度了，不過還是把書抄一下吧：

統(tǒng)計(jì)學(xué)中把均值X的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均值的標(biāo)準(zhǔn)誤，記為σX或SEM(standard error of the mean)，無論是正態(tài)還是非正態(tài)，均值的標(biāo)準(zhǔn)誤都有

，SEM隨著n的增加而減少。

是的，樣本和總體的標(biāo)準(zhǔn)差叫標(biāo)準(zhǔn)差，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差是正宮娘娘生的，直接正名；標(biāo)準(zhǔn)差的名字被用掉了，那隨機(jī)變量均值X生出來的標(biāo)準(zhǔn)差就不能再直接叫標(biāo)準(zhǔn)差了，為了體現(xiàn)他們的兄弟情，叫標(biāo)準(zhǔn)誤，實(shí)際上還是長(zhǎng)成標(biāo)準(zhǔn)差的模樣無異，考試的時(shí)候只要看到隨機(jī)變量均值X和方差或標(biāo)準(zhǔn)差，請(qǐng)馬上聯(lián)想到中心極限定理，而且在考題中不一定會(huì)說成標(biāo)準(zhǔn)誤哦，也許就叫標(biāo)準(zhǔn)差。

考試考來考去就考藍(lán)色標(biāo)記的這個(gè)公式，知道中心極限定理，這個(gè)藍(lán)色標(biāo)記的公式就順理成章了，不用死記硬背。

以上是隨機(jī)變量均值X的情況，隨機(jī)變量之和道理也一樣。

呀，突然發(fā)現(xiàn)有2個(gè)均值，數(shù)學(xué)君沒給他們起別名。為了避免混淆，通篇重新寫清楚是隨機(jī)變量均值X還是近似服從正態(tài)分布的樣本或總體的均值μ。上面圖形圈了紅圈圈的均值是括號(hào)里面的具體數(shù)值均值μ。
是的，隨機(jī)變量之和的分布與隨機(jī)變量均值的分布，道理也一樣。嗚嗚，好想數(shù)學(xué)君也像標(biāo)準(zhǔn)差改成標(biāo)準(zhǔn)誤一樣給和值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差也起個(gè)均直直和標(biāo)準(zhǔn)叉叉啥的別名，這下都不會(huì)寫了，你自己仔細(xì)看括號(hào)里面的均值和方差變化吧，也好
理解，正態(tài)分布就涉及均值和方差兩個(gè)參數(shù)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量都相加，括號(hào)里的均值和方差都多了n倍。

近似服從均值為nμ、方差為nσ2的正態(tài)分布N（nμ,nσ2），我們也畫圖瞧瞧唄。

X1+X2的圖形：

X1+X2+X3+X4+X5的圖形：

X1+X2+...+X30的圖形：

小王嘆了口氣，說：本文圖示了均勻分布變成近似正態(tài)分布，沒想到還要標(biāo)注此均值非彼均值，好累啊。等我有空下次再給你舉其他分布比如指數(shù)分布的例子。只要n夠大，只有柯西分布沒有樣本均值而不可以，其他什么指數(shù)分布、對(duì)數(shù)分布、均勻分布，統(tǒng)統(tǒng)都可以近似正態(tài)分布。

小潘急忙說：你必須有空。要是都這樣了，那我們可以偷偷懶不去煩心那些復(fù)雜的源數(shù)據(jù)到底是什么分布，直接抽樣30組或以上數(shù)據(jù)，看成正態(tài)分布來對(duì)待就好啦。至少現(xiàn)在正態(tài)分布的圖形在我腦海中是清晰的，其他已經(jīng)早就還給老師了。嗯，難怪你大書特書正態(tài)分布，又加深認(rèn)識(shí)了。

原文來源張馳咨詢：未經(jīng)作者同意，如有轉(zhuǎn)發(fā)需要必須在文章中給出原文鏈接，否則必究！