? ? ? ? 在《電路原理》中涉及對動態(tài)電路的分析，其中就包含對電抗元件（電容、電感）的分析。本文在此分析8種不同的電路，借此以熟悉電抗元件之間的特性，8種不同電路的換路規(guī)律，以及對電路分析的方法及技巧。

以下為待分析的8種電路。

說明：

1、分析電壓和電流時均采用關(guān)聯(lián)參考方向，電抗上的參考方向已標出。

2、元件均為理想元件。

3、分析時單位采用國際SI單位制：電壓（V、伏特）、電流（A、安培）、電阻（Ω、歐姆）、電容（F、法拉）、電感（H、亨利）。

4、開關(guān)S1、S2、S5、S6初始狀態(tài)為開路，S3、S4、S7、S8初始狀態(tài)為閉合。

5、本次分析，激勵源均為直流。（其它激勵波形也可仿照本文分析，但復雜很多。）

分析前所需了解并掌握的：

1.0、電容兩端電壓不能突變（具有阻礙電壓突變性質(zhì)），而電流可以。

1.1、通過電容的電流為i=C*du/dt，u為電容兩端電壓、C為電容容量。

2.0、通過電感電流不能突變（具有阻礙電流突變性質(zhì)），而電壓可以。

2.1、電感兩端的電壓為u=L*di/dt，i為通過電感的電流，L為電感自感系數(shù)。

3.0、電阻兩端電壓和通過電流關(guān)系為u=i*R，R為電阻阻值。（歐姆定律）

4.0、開關(guān)開路（斷路）→強制電流為0，兩端電壓可為任意值。（R=∞，G=0）

5.0、開關(guān)閉合（短路）→強制電壓為0，通過的電流為任意值。（R=0，G=∞）

6.0、理想電壓源，強制兩端電壓為us。

6.1、理想電壓源通過的電流為任意值，由外電路決定。

6.2、理想電壓源內(nèi)阻R=0。

6.3、理想電壓源不可短路。

7.0、理想電流源，強制通過電流為is。

7.1、理想電流源兩端的電壓為任意值，由外電路決定。

7.2、理想電流源內(nèi)阻R=∞。

7.3、理想電流源不可開路。

8.0、基本的電路分析知識。

9.0、微積分基礎(chǔ)知識。

10.0、對于以下一階線性非齊次微分方程，其通解為：[1]

電路分析：

求開關(guān) 開/閉 后，電抗元件兩端電壓和電流的變化（關(guān)于時間t的函數(shù)表達式）。

【I】——電壓源，電容電阻，串聯(lián)。

開關(guān)閉合前：

uc=U0；（U0為電容初始電壓）

ic=0；

開關(guān)閉合后：

由KVL得：uR+uc-Us=0；（Us為電壓源電壓）

→R*i+uc=Us；

→R*C*duc/dt+uc=Us；

函數(shù)圖像：

通過函數(shù)圖像可以看出以下規(guī)律：

1.0、電容電壓以負指數(shù)速度趨向Us。

1.1、電容電壓是連續(xù)的。

1.2、經(jīng)過3*RC時間，電壓過渡95%；經(jīng)過5*RC時間，電壓過渡99%；經(jīng)過7*RC時間，電壓過渡99.9%。（函數(shù)圖中RC=2）

1.3、經(jīng)過5*RC后基本可認為電路完成過渡過程。

2.0、電容電流以負指數(shù)速度衰減至0。

2.1、在換路瞬間，電流跳變至最大值，電容可近似看做短路。

?

公式中各個參數(shù)對函數(shù)的影響：

1.0、U0決定電壓曲線的起始位置。

1.1、U0影響電流曲線的起始位置（電流峰值）。（ic|t=0與Us差值呈正比）

2.0、Us決定電壓曲線趨向位置。

2.1、Us影響電流曲線的起始位置（電流峰值）。（ic|t=0與U0差值呈正比）

3.0、R影響電壓曲線趨向Us的速度（影響時間常數(shù)）。R越大，uc趨向Us越慢。

3.1、R影響電流曲線趨向0的速度（影響時間常數(shù)）。R越大，ic趨向0越慢。

3.2、R影響電流曲線初始位置（電流峰值）。（ic|t=0與1/R呈正比，R越大ic|t=0越?。?/p>

4.0、C影響電壓曲線趨向Us的速度（影響時間常數(shù)）。C越大，uc趨向Us越慢。

4.1、C影響電流曲線趨向0的速度（影響時間常數(shù)）。C越大，ic趨向0越慢。

達到穩(wěn)態(tài)：

uc=Us；

ic=0；

開關(guān)斷開：

uc=Us；

ic=0；

【II】——電壓源，電容電阻，并聯(lián)。

開關(guān)閉合前：

uc=U0=0；

ic=0；

開關(guān)閉合后：

? ? ? ? 由于電阻R2和電壓源并聯(lián)，所以R2無法改變電壓源的電壓→不會影響電壓源對電容的作用，可以忽略。因為電壓源強制兩端電壓為Us，電容具有阻礙電壓突變性質(zhì)，即電壓為U0，若Us≠U0，則電路無法分析。

? ? ? ? 若要使分析繼續(xù)，必須在電容C2上串聯(lián)一個電阻Rc（相當于電容內(nèi)阻，圖未畫出），并令Rc→0。模型即轉(zhuǎn)化為【I】型。利用【I】推出的公式，代入計算得：

當t=0（合上瞬間）

uc=U0=0，ic=∞；

經(jīng)過極短的過渡時間后（<7*Rc*C，因為Rc→0，可認為過渡時間→0）：

uc=Us，ic=0；

函數(shù)圖像：

現(xiàn)實中的電路：

? ? ? ? 因為現(xiàn)實元件不是理想元件，會有各種寄生參數(shù)。在開關(guān)閉合時，導線電阻等會限制電流峰值，寄生電感也會在一定程度限制電流增速，所以ic并不會到∞A。對于低壓小電容情況，電流還未升到很高時就已經(jīng)完成過渡過程。對于高壓大電容情況，電路中會瞬間通過非常大的沖擊電流，有可能損壞器件。在電路設(shè)計中，這種情況是要避免的。

達到穩(wěn)態(tài)：

uc=Us；

ic=0；

開關(guān)斷開：

此時【II】模型可以近似為【I】型，電容初始電壓U0=Us，向電壓為0的電壓源供電，R為R2。

函數(shù)圖像：

【III】——電流源，電容電阻，串聯(lián)

開關(guān)斷開前：

uc=U0=0；

ic=0；

開關(guān)斷開后：

? ? ? ? 由于電阻R3和電流源和電容串聯(lián)，所以R3無法改變通過電容的電流，可以忽略。可知ic被電流源強制為Is。易知電容電壓

函數(shù)圖像：

通過函數(shù)圖像可看出以下規(guī)律：

1.0、電容電壓是線性變化的。

1.1、電容電壓沒有上限，會一直增加。

2.0、通過電容的電流一直是恒定值。

?

公式中各個參數(shù)對函數(shù)的影響：

1.0、Is決定電流曲線的值。

1.1、Is影響電壓曲線的斜率（上升速率）。（斜率與Is成正比，Is越大斜率越大）

2.0、C影響電壓曲線的斜率（上升速率）。（斜率與1/C成正比，C越大斜率越?。?/p>

? ? ? ? 在電路設(shè)計中，可以利用電流源給電容充電來獲得線性變化的電壓。如果電路沒有改變，理論上電壓會一直上升到∞，但現(xiàn)實往往有很多因素限制電壓，比如電流源最大輸出電壓（非理想電流源）、電容耐壓、空氣（擊穿）、開關(guān)、電路換路等。

達到穩(wěn)態(tài)：

！沒有穩(wěn)態(tài)！

開關(guān)閉合：

? ? ? ? 閉合后電路與【II】模型開關(guān)斷開后相同，可直接利用之前推出的公式。電容初始電壓為U0（具體數(shù)值取決之前充的多少），Us=0。

函數(shù)圖像：

注：在t=0時換路。

?

【IV】——電流源，電容電阻，并聯(lián)

開關(guān)斷路前：

uc=U0=0；

ic=0；

開關(guān)斷路后：

由KCL得：ic+iR-Is=0；

→C*duc/dt+uc/R=Is；

函數(shù)圖像：

通過函數(shù)圖像可看出：

圖像特性和【I】型幾乎完全相同，具體可參考【I】型。

達到穩(wěn)態(tài)：

uc=Is*R；

ic=0；

開關(guān)閉合：

? ? ? ? 因為電容有阻礙兩端電壓突變特性，而開關(guān)閉合短路了電容，即開關(guān)強制電容兩端電壓為0。此時情況參考【II】型、開關(guān)閉合。此時將會有極大的沖擊電流通過開關(guān)。

當t=0時

uc=U0=Is*R，ic=∞；

經(jīng)過極短的過渡時間后：

uc=Us，ic=0；

函數(shù)圖像：

現(xiàn)實中的電路：

? ? ? ? 和之前一樣解釋，會有很多因素限制電流不會到∞A。然而巨大的沖擊電流對電路是不利的，盡量需要避免。一般情況下，開關(guān)會承受大部分的，由電容釋放出來的功率。因為現(xiàn)實開關(guān)不是理想開關(guān)，換路過程需要時間，此時電阻最大就在開關(guān)，會導致開關(guān)觸點燒蝕等等。

【V】——電壓源，電感電阻，串聯(lián)

開關(guān)閉合前：

uL=0；

iL=I0=0；

開關(guān)閉合后：

由KVL得：uL+uR-Us=0；

→L*diL/dt+R*iL=Us；

→diL/dt+R/L*iL=Us/L；

函數(shù)圖像：

通過函數(shù)圖像可看出：

1.0、電感電壓呈現(xiàn)負指數(shù)速度衰減到0。

1.1、換路瞬間，電感電壓發(fā)生跳變?yōu)樽畲笾怠?/p>

2.0、電感電流呈現(xiàn)負指數(shù)速度趨向于Us/R。

2.1、電感電流連續(xù)。

2.2、經(jīng)過3*L/R時間，電流過渡95%；經(jīng)過5*L/R時間，電流過渡99%；經(jīng)過7*L/R時間，電流過渡99.9%。（函數(shù)圖中L/R=1）

2.3、經(jīng)過5*L/R后基本可認為電路完成過渡過程。

達到穩(wěn)態(tài)：

uL=0；

iL=Us/R；

開關(guān)斷開：

? ? ? ? 因為電感具有阻礙電流突變的特性（維持電流=i0=Us/R），而開關(guān)斷開即強制電流為0。兩者相矛盾，無法分析。

? ? ? ? 若要分析繼續(xù)，可以把開關(guān)想象成一個電阻，其阻值Rsw→∞Ω（符合斷路性質(zhì)）。列寫KVL，得出式子，并令Rsw→∞，即得

當t=0時（開關(guān)斷開瞬間）

uL=∞；

iL=Us/R；

經(jīng)過極短的過渡時間后

uL=0；

iL=0；

函數(shù)圖像：

現(xiàn)實中的電路：

? ? ? ? 因為現(xiàn)實中每個元件/物體/環(huán)境只有一定的耐壓，過高的電壓即刻可以擊穿元件/物體/環(huán)境。比如空氣：大約10kV高壓能擊穿1cm空氣。所以電壓并不會達到∞V。一般情況下這種擊穿會發(fā)生在開關(guān)上。機械開關(guān)即擊穿空氣，半導體開關(guān)即擊穿半導體導致開關(guān)報廢。

? ? ? ? 這種電路在現(xiàn)實很常見。為了避免高壓帶來的危害，往往有很多的輔助電路去吸收高壓。也有利用這種高壓的，比如boost升壓器，或者一個簡易的電人裝置hhhhhh。

【VI】——電壓源，電感電阻，并聯(lián)

開關(guān)閉合前：

uL=0；

iL=I0=0；

開關(guān)閉合后：

? ? ? ? 由于R6與電壓源并聯(lián)，所以R6無法影響電感L兩端的電壓，分析時可忽略。

可知uL被電壓源強制為Us?？傻秒姼须娏?/p>

函數(shù)圖像：

通過函數(shù)圖像可看出以下規(guī)律：

1.0、電感電壓一直是恒定值。

2.0、電感電流是線性變化的。

2.1、電感電流沒有上限，會一直增加。

?

公式中各個參數(shù)對函數(shù)的影響：

1.0、Us決定電壓曲線的值。

1.1、Us影響電流曲線的斜率（上升速率）。（斜率與Us成正比，Us越大斜率越大）

2.0、L影響電流曲線的斜率（上升速率）。（斜率與1/L成正比，L越大斜率越?。?/p>

?

? ? ? ? 在現(xiàn)實電路中，因為電感自身存在電阻，會限制其最大電流（與【V】型等同），電流并不會升到∞。還有一種情況是在達到最大電流前發(fā)生磁通飽和，此時電感將開始喪失電感特性，電流將不會再線性上升，而是突然爆升，最終受到電阻限制。一般會燒毀一些東西。

達到穩(wěn)態(tài)：

！沒有穩(wěn)態(tài)！

開關(guān)斷開：

? ? ? ? 此時I0為斷開前的電流大小，Us為0。借助推導出的式子（見【VIII】型）得

函數(shù)圖像：

注：在t=0時換路

?

【VII】——電流源，電感電阻，串聯(lián)

開關(guān)斷開前：

uL=0；

iL=I0=0；

開關(guān)斷開后：

? ? ? ? 由于電阻R7與電流源串聯(lián)，電阻R7無法改變通過電感的電流，分析時可以忽略。因為電流源強制流過的電流為Is，而電感有阻礙電流突變的特性（維持電流為I0）。若Is≠I0，電路無法分析。

? ? ? ? 若要使分析繼續(xù)，需要假設(shè)開關(guān)S7為一個電阻，其阻值Rsw→∞Ω（符合開關(guān)斷開性質(zhì)）。電路可等效為【VIII】型（下文），代入其公式，可得。

當t=0（合上瞬間）

uL=∞，iL=I0=0；

經(jīng)過極短的過渡時間后：

uL=0，iL=Is；

函數(shù)圖像：

現(xiàn)實中電路：目前我還沒有了解到這種設(shè)計，或者我孤陋寡聞了？

達到穩(wěn)態(tài)：

uL=0；

iL=Is；

開關(guān)閉合：

閉合后電路可與【VI】開關(guān)斷開時相似，I0=Is，Is=0，得

函數(shù)圖像：

【VIII】——電流源，電感電阻，并聯(lián)

開關(guān)斷開前：

uL=0；

iL=I0；

開關(guān)斷開后：

由KCL得：iR+iL-Is=0；

→uL/R+iL=Is；

→L/R*diL/dt+iL=Is

函數(shù)曲線：

通過函數(shù)圖像可看出以下規(guī)律：

1.0、電感電流以負指數(shù)速度趨向Is。

1.1、電感電流是連續(xù)的。

1.2、經(jīng)過3*L/R時間，電流過渡95%；經(jīng)過5*L/R時間，電流過渡99%；經(jīng)過7*L/R時間，電流過渡99.9%。（函數(shù)圖中L/R=2）

1.3、經(jīng)過5*L/R后基本可認為電路完成過渡過程。

2.0、電感電壓以負指數(shù)速度衰減至0。

2.1、在換路瞬間，電感電壓跳變至最大值，電感可近似看做斷路。

?

公式中各個參數(shù)對函數(shù)的影響：

1.0、I0影響電壓曲線的起始位置（電壓峰值）。（uL|t=0與Is差值呈正比）

1.1、I0決定電流曲線的起始位置。

2.0、Is影響電壓曲線的起始位置（電壓峰值）。（uL|t=0與I0差值呈正比）

2.1、Is決定電流曲線趨向位置。

3.0、R影響電壓曲線趨向0的速度（影響時間常數(shù)）。R越大，uL趨向0越快。

3.1、R影響電壓曲線初始位置（電壓峰值）。（uL|t=0與R呈正比，R越大uL|t=0越大）

3.2、R影響電流曲線趨向Is的速度（影響時間常數(shù)）。R越大，iL趨向Is越快。

4.0、L影響電壓曲線趨向0的速度（影響時間常數(shù)）。L越大，uL趨向0越慢。

4.1、L影響電流曲線趨向Is的速度（影響時間常數(shù)）。L越大，iL趨向Is越慢。

達到穩(wěn)態(tài)：

uL=0；

iL=Is；

開關(guān)閉合：

uL=0；

iL=Is；

總結(jié)：

至此8個電路分析完成，此處簡要總結(jié)8個電路在開關(guān)換路前后，電抗元件的電壓電流變化：

【I】

閉合：uc從U0負指數(shù)趨向Us；

? ? ? ? ? ?ic從峰值負指數(shù)趨向0；

斷開：uc不變；

?? ? ? ? ?ic=0；

【II】

閉合：uc從0驟升到Us；

?? ? ? ? ?ic瞬時沖擊電流；

斷開：uc從Us負指數(shù)趨向0；

?? ? ? ? ?ic從峰值負指數(shù)趨向0；

【III】

斷開：uc從0線性增加；

?? ? ? ? ?ic=Is；

閉合：uc從峰值負指數(shù)趨向0；

?? ? ? ? ?ic從峰值負指數(shù)趨向0；

【IV】

斷開：uc從0負指數(shù)趨向Is*R；

?? ? ? ? ?ic從Is負指數(shù)趨向0；

閉合：uc從IsR驟降到0；

?? ? ? ? ?ic瞬時沖擊電流；

【V】

閉合：uL從Us負指數(shù)趨向0；

iL從0負指數(shù)趨向Us/R；

斷開：uL瞬時高壓尖峰；

iL從Us/R驟降到0；

【VI】

閉合：uL=Us；

iL=從0線性增加；

斷開：uL從峰值負指數(shù)趨向0；

iL從峰值負指數(shù)趨向0；

【VII】

斷開：uL瞬時高壓尖峰；

iL從0驟升到Is；

閉合：uL從峰值負指數(shù)趨向0；

iL從Is負指數(shù)趨向0；

【VIII】

斷開：uL從峰值負指數(shù)趨向0；

iL從I0負指數(shù)趨向Is；

閉合：uL=0；

iL不變；

?

經(jīng)過比較之后也可以發(fā)現(xiàn)：

【I】和【VIII】對偶，【II】和【VII】對偶，【III】和【VI】對偶，【IV】和【V】對偶。相互對偶的電路具有相似的響應和相似的方程表達式。

?

本文到此完成對8個電路的分析，感謝能閱讀完全文的觀眾，若本文有誤之處，歡迎指正。

——by HD-nuke8800

附錄：

[1]：摘自 同濟版《高等數(shù)學》第七版 上冊，第七章 第四節(jié) 一階線性微分方程。