（2021新高考Ⅰ，22）已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)、為兩個互不相等的正數(shù)，且，證明：.

解：（1）求導(dǎo)，得

令，解得，

當，，；

當，，.

（2）等價于

，

即，

令，，則待證命題即為

.

• 先證，

其等價于，（第一次轉(zhuǎn)化）

又因，故，

故與同屬，

由前文已知在此區(qū)間，故

（第二次轉(zhuǎn)化）

又因，

故又等價于

（第三次轉(zhuǎn)化），

即.

令，

其中，則

故，

故，

得證.

• 再證，

設(shè)

取，，使得：

易知：，.

構(gòu)造函數(shù)：

當，易知，

故，

故，

故，

又因為，

故；

當，，

故，

故，

故，

故，

故，

又因為；

故；

所以.

綜上所述：，證畢.