據(jù)

祖暅原理

設(shè)

棱臺(tái)

與

等上下底面面積與高

圓臺(tái)

上下底面面積與高

分別為

S1，S2，h

圓臺(tái)

上下底面半徑

分別為

r1，r2

所在圓錐母線(xiàn)

與

對(duì)稱(chēng)軸

所成夾角為β

所在圓錐母線(xiàn)

與

所補(bǔ)圓錐母線(xiàn)

分別為

ρ2，ρ1

有

r1=ρ1sinβ

r2=ρ2sinβ

h=(ρ2-ρ1)cosβ

V棱臺(tái)

=

V圓臺(tái)

=

?dV

=

∫(0，2π)

∫(0，β)

∫(ρ1cosβ/cosθ，ρ2cosβ/cosθ)

ρ2sinθ

dρ

dθ

dφ

=

∫(0，2π)

∫(0，β)

sinθβ3/3 | (ρ1cosβ/cosθ，ρ2cosβ/cosθ)

dθ

dφ

=

∫(0，2π)

∫(0，β)

cos3β(ρ23-ρ13)sinθ/(3cos3θ)

dθ

dφ

=

cos3β(ρ23-ρ13)/3

∫(0，2π)

∫(0，β)

sinθ/cos3θ

dθ

dφ

=

-cos3β(ρ23-ρ13)/3

∫(0，2π)

∫(1，cosβ)

1/cos3θ

dcosθ

dφ

=

cos3β(ρ23-ρ13)/6

∫(0，2π)

1/cos2θ| (1，cosβ)

dφ

=

cos3β(ρ23-ρ13)(1-cos2β)/(6cos2β)

∫(0，2π)

dφ

=

πcosβ(ρ23-ρ13)sin2β/3

=

π(ρ2-ρ1)(ρ22+ρ1ρ2+ρ12)sin2βcosβ/3

=

(ρ2-ρ1)cosβ

(πρ22sin2β+πρ1ρ2sin2β+πρ12sin2β)/3

=

h

(πr22+πr1r2+πr12)/3

=

(S1+√(S1S2）+S2)h/3

得證

ps.

間接推導(dǎo)

詳見(jiàn)

CV18157464