命題3.16：

如果過(guò)圓的直徑的端點(diǎn)作該直徑的垂線，那么該直線落在圓外，且該直線與圓之間不能再插入另一條直線，且半圓的弓形角大于任何銳角，其余角小于任何銳角

已知：圓ABC，圓心點(diǎn)D，直徑AB

求證：過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線落在圓外

解：

假如過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線不落在圓外，

設(shè)過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線落在圓內(nèi)

過(guò)點(diǎn)A作AC⊥AB

（命題1.10）

連接CD

（公設(shè)1.1）

證：

∵AC⊥AB

（已知）

∴∟CAD是直角

（定義1.10）

∵點(diǎn)D為圓ABC的圓心

（已知）

∴EM=EF，EN=EG

（定義1.15）

∴∠ACD=∟CAD

（命題1.5）

∴∠ACD，∟CAD都是直角，這是不可能的

（命題1.17）

∴AC不落在圓內(nèi)

同理可證，AC不落在圓上

∴AC落在圓外

求證：AC與圓ABC之間不能再插入另一條直線

解：

假如AC與圓ABC之間能再插入另一條直線

設(shè)直線AF在AC與圓ABC之間

過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AF，與圓ABC交點(diǎn)記為點(diǎn)H

（命題1.11）

證：
∵AC⊥AB

（已知）

∴∟BAE是直角

（定義1.10）

∵DG⊥AF

（已知）

∴∟AHD是直角

（定義1.10）

∴∟BAE=∟AHD

（公設(shè)1.4）

∵∟BAE＞∠BAF

（公理1.5）

∴∟AHD＞∠BAF

（公理1.1）

∴AD＞DG

（命題1.19）

∵點(diǎn)D為圓ABC的圓心

（已知）

∴AD=DH

（定義1.15）

∵DH＜DG

（公理1.5）

∴AD＜DG

（公理1.1）

∴大的小于小的，這是不可能的

∴AC與圓ABC之間不能再插入另一條直線

∴半圓的弓形角大于任何銳角，其余角小于任何銳角

（定義1.9＆3.7）

證畢

此命題的推論將在下一命題中被使用

推論：過(guò)圓的直徑的端點(diǎn)所作的垂線切于此圓