續(xù)上一集詳細(xì)版今年是沒有了，明年再說。這一集更線代后三章的結(jié)論庫

四、線性方程組

線性方程組的克拉默(Cramer)法則、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件、非齊次線性方程組有解的充分必要條件、線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解、解空間、非齊次線性方程組的通解.

考試要求

l.會用克拉默法則.

2.理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件.

3.理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法.

4.理解非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

結(jié)論：

4.1、線性方程組的系數(shù)矩陣的初等行變換不改變方程的解，謂之“等價(jià)”

4.2、線性方程組解的情況結(jié)論群：

4.3、線性方程組的通解：

這個(gè)線性方程解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)會在微分方程里有著重體現(xiàn)，https://www.bilibili.com/read/cv12862366

在這一集里就不擺了

方法：

4.1、高斯消元法/行階梯形法解線性方程組

五、矩陣的特征值和特征向量

矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)、相似變換及相似矩陣的概念及性質(zhì)、矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣、實(shí)對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣.

考試要求

1.理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量.

2.理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.

3.掌握實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).

結(jié)論：

5.1、特征值的性質(zhì)結(jié)論群：

5.2、矩陣相似的結(jié)論群

5.3、相似對角化的結(jié)論群：

5.4、實(shí)對稱矩陣的結(jié)論群：

5.5、對角形重拐型

“對角形重拐型”——對角形的對角線上重特征值如果拐著鄰元素，會導(dǎo)致特征子空間的坍塌

例如：?

5.6、用相似對角化求矩陣高次冪

矩陣高次冪如果題目中不給出具體的周期性條件，那么只有縱橫一秩方和相似對角兩種辦法

方法：

5.1特征值、特征向量的求法

5.1.1、定義法

5.1.2、特征方程法（解算特征方程的通解），遍歷每個(gè)特征值，得到每個(gè)特征值的特征向量

5.1.3、性質(zhì)法

5.2、實(shí)對稱矩陣相似對角的變換矩陣Q的求法

1）調(diào)用方法5.1求特征值、特征向量

2）調(diào)用方法3.1施密特正交化，如果已經(jīng)正交的向量就省去正交化

3）將上一步得到的n個(gè)單位正交特征向量合寫出Q，實(shí)對稱矩陣的相似必定合同

六、二次型

二次型及其矩陣表示、合同變換與合同矩陣、二次型的秩、慣性定理、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形、用正交變換和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、二次型及其矩陣的正定性.

考試要求

1.掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換與合同矩陣的概念，了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理.

2.掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，會用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.

3.理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法.

結(jié)論：

6.1 二次型基本命題結(jié)論群：

6.2、矩陣合同的相關(guān)結(jié)論群：

6.3、二次型正定的相關(guān)結(jié)論群：

方法：

核心只有一個(gè)就是寫標(biāo)準(zhǔn)形

6.1、配方法：

不說了，一般就配完全平方

6.2、換元法:

這個(gè)某些時(shí)候能口算，不能口算就不能用了，非主流

6.3、正交變換法

歸結(jié)為方法5.2，只不過這個(gè)是對稱矩陣是二次型系數(shù)矩陣

至此，線性代數(shù)所有的常用結(jié)論均已更完，方法庫可能尚不完善。方法庫的完善需要在明年的詳細(xì)版本中完成。