積分公式：

可以看出，直接積分該式是較為困難的，因?yàn)榇嬖趦晌恢檬噶孔鞑钊∧榉帜福迷谖覀冊(cè)凇稊?shù)學(xué)物理方法》課程中研究過(guò)該類函數(shù)，它正是勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)，我們可以用勒讓德多項(xiàng)式來(lái)把它作展開：

同時(shí)，在球坐標(biāo)系下，對(duì)體積的積分為如下形式

則

可以看出，上式還是難以積分，我們不妨再將勒讓德多項(xiàng)式用球諧函數(shù)展開，即運(yùn)用在《數(shù)學(xué)物理方法》中學(xué)過(guò)的球諧函數(shù)的加法公式：

將球諧函數(shù)的加法公式代入原積分公式可得

可以看出，上式是含有兩個(gè)在不同坐標(biāo)系中球諧函數(shù)的積分，則利用球諧函數(shù)的性質(zhì)(正交歸一性、定義式)有

同理，有

這樣就消除了不同坐標(biāo)系積分帶來(lái)的困難，且完成了角向積分，將球諧函數(shù)的積分全部變成了正交關(guān)系！將上面兩式代回原積分式中，則由正交性可以看出只有 的項(xiàng)保留下來(lái)，積分化為

其中顯然用分部積分可以計(jì)算出各項(xiàng)，先計(jì)算含有的項(xiàng)，然后再計(jì)算含有 的項(xiàng). 分部積分過(guò)程略復(fù)雜，下面我們來(lái)計(jì)算.

其中可以由洛必達(dá)法則計(jì)算

這樣，就求解完了關(guān)于 的積分

上式可以看出含有 ，則將上式放到的積分中進(jìn)行進(jìn)一步計(jì)算，仿照上面的步驟，由分部積分和洛必達(dá)法則可以求得

最終即得