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小波變換[3.5] -- Daubechies 小波系數(shù)

2022-01-19 16:24 作者:nyasyamorina 0人讀過(guò) | 我要投稿

在之前的推導(dǎo)過(guò)程里有幾個(gè)命題是等價(jià)的,? 1)?尺度關(guān)系式? $%5CPhi(x)%3D%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%5CPhi(2x-k)$ 等價(jià)于? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_k%3D2$ ;? 2) 標(biāo)準(zhǔn)正交性? $%5Cint_%5Cmathbb%20R%5CPhi(x)%5CPhi(x-l)dx%3D%5Cdelta_%7B0%2Cl%7D$ 等價(jià)于? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7Dp_%7Bk-2l%7D%5Coverline%7Bp_k%7D%3D2%5Cdelta_%7B0%2Cl%7D$ ;? 3)?N 階 D-小波擁有 N 階消失矩? $%5Cint_%5Cmathbb%20Rx%5Em%5Cphi(x)dx%3D0%3B%5C%3Bm%3D0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2CN-1$ 等價(jià)于? $%5Csum_%7Bk%5Cin%5Cmathbb%20Z%7D(-1)%5Ekp_kk%5Em%3D0%3B%5C%3Bm%3D0%2C%5C%2C%5Ccdots%2C%5C%2CN-1$ ?[證明過(guò)程不明].? 由這幾條累加式可以精確地求出 N 等于 1 至 3 時(shí)尺度系數(shù) $%5C%7Bp_k%5C%7D$ 的數(shù)值,? 但對(duì)于 N>3 的情況只能求出數(shù)值近似解.? 下面以 $p%5E%7B(N)%7D_k$ 給出 N 階 D-小波的第 k 個(gè)尺度系數(shù)的精確值:

? $p%5E%7B(1)%7D_0%3Dp%5E%7B(1)%7D_1%3D1$

? $p%5E%7B(2)%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(1%2B%5Csqrt3)$ ,? $p%5E%7B(2)%7D_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(3%2B%5Csqrt3)$ ,? $p%5E%7B(2)%7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(3-%5Csqrt3)$ , $p%5E%7B(2)%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(1-%5Csqrt3)$

$p%5E%7B(3)%7D_0%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(1%2B%5Csqrt%7B10%7D%2Bq)$ , $p%5E%7B(3)%7D_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(5%2B%5Csqrt%7B10%7D%2B3q)$ , $p%5E%7B(3)%7D_2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(5-%5Csqrt%7B10%7D%2Bq)$ , $p%5E%7B(3)%7D_3%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D(5-%5Csqrt%7B10%7D-q)$ , $p%5E%7B(3)%7D_4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(5%2B%5Csqrt%7B10%7D-3q)$ ,? $p%5E%7B(3)%7D_5%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(1%2B%5Csqrt%7B10%7D-q)$ ,? 其中? $q%3D%5Csqrt%7B5%2B2%5Csqrt%7B10%7D%7D$ .

使用上面幾條方程組求解 N>3 時(shí)尺度系數(shù)的數(shù)值成本過(guò)高,? 需要更快速的算法,??Daubechies 提出了一個(gè)解多項(xiàng)式零點(diǎn)求尺度系數(shù)的算法:

求解多項(xiàng)式? $%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Bmatrix%7DN-1%2Bk%5C%5Ck%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright)q%5Ek$ 的零點(diǎn),? 得出 N-1 個(gè)復(fù)根? $q_1%2C%5Ccdots%2Cq_%7BN-1%7D$ .? 然后對(duì)每個(gè)復(fù)根求解多項(xiàng)式? $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4r%7D-%5Cfrac%7Br%7D%7B4%7D%3Dq_k%3B%5C%3Bk%3D0%2C%5Ccdots%2CN-1$ ,? 每個(gè) q 都可以解出兩個(gè) r,? 只保留模長(zhǎng)小于 1 的那個(gè),? 得到數(shù)列? $r_1%2C%5Ccdots%2Cr_%7BN-1%7D$ .? 使用這個(gè)數(shù)列組合得多項(xiàng)式 $(z%2B1)%5EN%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN-1%7D(z-r_k)$ ,? 這個(gè)多項(xiàng)式與? $M%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B2N-1%7Dp_%7B2N-1-k%7Dz%5Ek$ 等價(jià),? 其中 M 是一個(gè)常數(shù),? 求得這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)后逆序得系數(shù)? $c_k$ ,? 那么尺度系數(shù) $p_k$ 由 $2c_k%5Ccdot%5Cleft(%5Csum_%7Bl%7Dc_l%5Cright)%5E%7B-1%7D$ 給出.

特別地,? 如果求解 r 時(shí)保留模長(zhǎng)大于 1 而不是小于 1 的,? 那么? $(z%2B1)%5EN%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5E%7BN-1%7D(z-r_k)$ ?與 $M%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B2N-1%7Dp_kz%5Ek$ 等價(jià).? 雖然這時(shí)候不需要逆序多項(xiàng)式系數(shù),? 但是原文并不是使用這種.

當(dāng)使用數(shù)值求解尺度系數(shù)時(shí),? 由于浮點(diǎn)數(shù)誤差,? 并不會(huì)精確給出實(shí)數(shù)數(shù)值,? 直接取結(jié)果的實(shí)值就好.? 下面給出 julia 的實(shí)現(xiàn)

q 的值是由 Polynomials 包提供的方法解多項(xiàng)式的根給出,? 第一個(gè) r 是? $%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B4r%7D-%5Cfrac%7Br%7D%7B4%7D%3Dq$ 的其中一個(gè)解,? 當(dāng) r 的模長(zhǎng)大于 1 時(shí)由 1/r 給出 r 的第二個(gè)解,? 代碼其余部分就是求系數(shù)了.

?:? 我發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)? $q%5Cin(%5CRe%5Bq%5D%5Cgeq0%5Ccap%5CIm%5Bq%5D%3D0)%20%5Ccup(%5CRe%5Bq%5D%3E1%5Ccap%5CIm%5Bq%5D%5Cneq0)$ 才會(huì)滿足條件 abs2(r) ≥?1,? 并且驗(yàn)證了 N 從 1?到 30 產(chǎn)生的所有 q 都不在這個(gè)范圍里,? 所以有理由懷疑標(biāo)記著 ? 的語(yǔ)句永遠(yuǎn)也不會(huì)執(zhí)行.? 但是不會(huì)如何證明這個(gè)猜想,? 所以還是把語(yǔ)句留在上面算了.