【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep14】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識：
兩向量垂直充要條件：內(nèi)積為0。
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0.——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。
矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析教程》（常庚哲 史濟(jì)懷 編）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)習(xí)題集》（楊子旭 編）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來自《數(shù)學(xué)分析教程（常庚哲 史濟(jì)懷?編）》）——
用p（n）表示n的質(zhì)因數(shù)的個數(shù)，例如p（1）=0，p（2）=1，p（3）=1，p（4）=1，p（5）=1，p（6）=2，p（7）=1，等等。求證：lim p（n）/n=0.
證：
n=a1a2……am，其中ai都為n的質(zhì)因數(shù)，同時a1<=a2<=……<=am；
易得p（n）<am；
0<p（n）/n=p（n）/（a1a2……am）=[1/（a1a2……am -1）][p（n）/am]<1/（a1a2……am -1）；
質(zhì)因數(shù)的個數(shù)是無窮的，所以am趨近于無窮大，則lim p（n）/n=0.
解析幾何——
例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已知|a|=3，|b|=5，a和b不共線，試確定常數(shù)k，設(shè)a+kb和a-kb垂直。
解：
（a+kb）（a-kb）
=|a|^2-k（ab）+k（ba）-k^2*|b|^2
=|a|^2-k^2*|b|^2
=9-25k^2；
為使a+kb和a-kb垂直，要且只要（a+kb）（a-kb）=0，故得方程9-25k^2=0，解得k=3/5或者-3/5。
高等代數(shù)——
例題（來自《高等代數(shù)習(xí)題集（楊子旭）》）——
設(shè)A為方陣。證明：若A^k=0，則E-A是可逆的，而且（E-A）^（-1）=E+A+A^2+……+A^（k-1）。
證：
做以下乘法：
（E-A）[E+A+A^2+……+A^（k-1）]
=[E+A+A^2+……+A^（k-1）]-[A+A^2+……+A^（k-1）+A^k]
=E-A^k
=E-0=E；
從而E-A是可逆的，而且（E-A）^（-1）=E+A+A^2+……+A^（k-1）。
到這里！
