預(yù)備知識：

1. 公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；

2. 雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個向量的向量積，再作所得向量與第三個向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個雙重向量積；

3. 性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；

4. （axb）xc=（ac）b-（bc）a；

5. 拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；

6. （axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a.
   

7. 矩陣乘法運算律——
   

   a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）

   b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

   c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

   d.若A是n級矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A

   e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

   f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。

8. 矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對應(yīng)的行列式。

9. 矩陣對應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；

10. 設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

11. A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）

12. E（i，j）為單位矩陣i，j行對調(diào)——
    

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A

    方陣A可逆，A對調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）

13. 矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。

14. 定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對稱矩陣。

15. 定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。

16. 矩陣轉(zhuǎn)置運算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

17. 定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'。

參考資料：

1. 《數(shù)學分析習題演練》（周民強?編著）

2. 《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）

3. 《高等代數(shù)——大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）

數(shù)學分析——

例題（來自《數(shù)學分析習題演練（周民強?編著）》）——

是證明下述命題：an=[1！+2！+……+（n-1）！+n！]/n！，lim an=1.

證：

1. 1！+2！+……+（n-1）！+n！
   

   <（n-2）！+（n-2）！……（n-2）！+（n-1）！+n！

   =（n-2）（n-2）！+（n-1）！+n！

   <（n-1）（n-2）！+（n-1）！+n！

   =2（n-1）！+n！，

   則an=[1！+2！+……+（n-1）！+n！]/n！<[2（n-1）！+n！]/n！=2/n+1；

2. n！<1！+2！+……+（n-1）！+n！，則1<an；

3. lim（2/n+1）=1，所以lim an=1.

解析幾何——

例題（來自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——

三個向量OA、OB、OC適合OBxOC+OCxOA+OAxOB=0，試證三點A，B，C共線.

證：

1. OBxOC+OCxOA+OAxOB=0，所以

   ABxBC

   =（OB-OA）x（OC-OB）

   =OBxOC-OAxOC-OBxOB+OAxOB

   =OBxOC+OCxOA+OAxOB

   =0，所以A，B，C共線.

高等代數(shù)——

例題（來自《高等代數(shù)——大學高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——

證明：如果A與B都是n級對稱矩陣，那么AB-BA是斜對稱矩陣.

證：

1. A與B都是n級對稱矩陣，即A'=A，B'=B；

2. （AB-BA）'=（AB）'-（BA）'=B'A'-A'B'=BA-AB=-（AB-BA），即AB-BA是斜對稱矩陣.

到這里！