A QUARK扯閑篇兒

無限循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)為什么能互相轉(zhuǎn)化

在我們的小學(xué)課本上有這樣一句話：

分?jǐn)?shù)能除盡等于有限循環(huán)小數(shù)，除不盡等于無限循環(huán)小數(shù)

不知道大家當(dāng)年是否想過

為什么？

01無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)

先看一個(gè)著名的等式

0.99...=1

這是無限小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的一個(gè)特例，我們可以這樣證明：

設(shè)：

x=0.99...

∴10x=9.99...

∴9x=10x-x

∴9x=9

∴x=1

用這個(gè)方法，可將所有的無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)

設(shè)：

x為無限循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)為a，

即x=0.aa...

且a為n位數(shù)

∵x=0.aa...

∴10nx=a.aa...

∴(10n-1)x=a

∴x=a/(10n-1)

即

0.aa...=a/(10n-1)

例如

0.11...=1/9

0.1212...=12/99

0.123123...=123/999

02分?jǐn)?shù)化為無限循環(huán)小數(shù)

通過上面的式子，我們也可以將分母為(10n-1)的分?jǐn)?shù)化成無限循環(huán)小數(shù)，那分母不是由一堆9組成的分?jǐn)?shù)怎么辦呢

當(dāng)然是把它的分母變成(10n-1)了

我們知道一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母同時(shí)乘以相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)大小不變。

那么我們可以將分子分母同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，使其分母變?yōu)?10n-1)的形式

因?yàn)?10n-1)的個(gè)位為9，而5的倍數(shù)個(gè)位為0或5，2的倍數(shù)個(gè)位一定是偶數(shù)，所以當(dāng)分母為2或5的倍數(shù)時(shí)，只要將分子單獨(dú)乘上幾個(gè)10，使其分母不含因數(shù)2和5，將其化為小數(shù)后再把乘上的10除回來就可以了。

03尋找n的值

當(dāng)分?jǐn)?shù)的分母不含因數(shù)2和5時(shí)，為什么一定有一個(gè)(10n-1)為分母的倍數(shù)呢

事實(shí)上，對(duì)于任意不含因數(shù)2和5自然數(shù)c，當(dāng)n為不大于c且與c互素(即只有1一個(gè)公因數(shù)，也稱互質(zhì))的數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，(10n-1)一定是c的倍數(shù)

例如

1,2,3,4,5,6都小于7，且與7互素

則(106-1)為7的倍數(shù)(可以自己算算試試)

據(jù)此，我們可以得到：

對(duì)于任意分?jǐn)?shù)b/c(c不含因數(shù)2和5)，設(shè)n為不大于a且與a互素的數(shù)的個(gè)數(shù)，m=b(10n-1)/c，則有

b/c=0.mm...

例如

5/7=0.714285 714285...

7/15=0.4666...

當(dāng)b/c為有限小數(shù)時(shí)，用此公式算出來的也是無限小數(shù)的形式，但如上面所說，他們的大小都是一樣的

例如

1/1=0.99...

1/2=0.499..

2/1=1.99...

至于為什么當(dāng)n為不大于c且與c互素的數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，(10n-1)一定是c的倍數(shù)，我們以后有空再說
未完待續(xù)

▲▲▲

夸克歐氏

翻譯《幾何原本》的