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《幾何原本》命題4.7【夸克歐氏幾何】

命題4.7:

可作一已知圓的外切正方形


已知:圓ABCD

求:作圓ABCD的外切正方形

解:

求出圓ABCD的圓心點(diǎn)E

命題3.1

連接AE

公設(shè)1.1

延長AE與圓ABCD交點(diǎn)記為點(diǎn)C

公設(shè)1.2

過點(diǎn)E作BD⊥AC,與圓ABCD交點(diǎn)記為點(diǎn)A,C

命題1.11

分別過點(diǎn)A,B,C,D作圓ABCD的切線FG,GH,HK,FK,交點(diǎn)分別記為點(diǎn)F,G,H,K

命題3.16推論

求證:四邊形FGHK是正方形

證:

∵FG切圓ABCD于點(diǎn)A

(已知)

∴AE⊥FG

命題3.18

∴∟EAG是直角

定義1.10

同理可證,∟EBG也是直角


∵BD⊥AC

(已知)

∴∟AEB是直角

定義1.10

∴∟AEB+∟EBG=兩直角

公理1.2

∴AC∥GH

命題1.28

同理可證,AC∥FK


∴GH∥FK

命題1.30

同理可證,GF∥HK


∴四邊形FGHK,AEBG是平行四邊形

定義1.22

∴GH=FK,GF=HK

命題1.34

同理可證,AC=GH,BD=GF


∵點(diǎn)E是圓ABCD的圓心

(已知)

∴AE=BE,CE=DE

定義1.15

∴AC=BD

公理1.2

∴GH=GF

公理1.1

∴GH=FK=GF=HK

公理1.1

∵?AEBG中,∠G=∟AEB

命題1.34

∴∠G是直角

公理1.1

同理可證,∠F,∠K,∠H也是直角


∴四邊形FGHK是正方形

定義1.22


證畢



此命題在本卷中未被使用

來都來了,點(diǎn)個(gè)關(guān)注唄!

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