伊朗引理

背景：

在IMO中，伊朗選手特別喜歡證明這個引理，故被稱為伊朗引理。

題干：

在▲ABC中，I是內心，EF是切點，連接并延長EF與BI的延長線交于D，M,N分別為BC和AC的中點，證明：∠BDC=90°，DNM三點共線。

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解答：

證明：∵∠AFI=90°且AI平分∠BAC

∴∠AIF=90°-1/2∠A

連接CI

顯然，∠BIC=90°+1/2∠A

∴∠DIC=90°-1/2∠A=∠AIF

∴IFCD四點共圓

∵∠BFC=90°

∴α=∠BFC=90°

連接DM

∵DM=BM

∠DBM=∠BDM

則∠BMD=∠DBM+∠BDM=2∠DBM=∠ABC

∴AB∥MD

∴N在MD上

證畢